Lema fatou

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El lema de Fatou es una declaración técnica utilizada para probar varios teoremas en el análisis funcional y la teoría de la probabilidad. Da una de las condiciones bajo las cuales el límite de una secuencia funcional convergente en casi todas partes será sumable .

La formulación estándar del lema de Fatou

$\operatorname {\mathcal {B}}_{\mathbb {R}_{\geq 0}}$ denota un álgebra de Borel $\sigma$ en . ${\ estilo de visualización [0, + \ infinito)}$

Lema. Dado un espacio con una medida y un conjunto de funciones no negativas medibles en secuencia let . ${\ estilo de visualización (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ estilo de visualización X \ en \ Sigma,}$ $\{f_{n}\}$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $f_{n}:X\to [0,+\infty )$

Definamos una función : $f:X\to [0,+\infty )$

f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),

para cualquier

x\en X

Entonces es - medible y : $F$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$

$\int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty}\int _{X}f_{n}\,d\mu .$

Observación 1. Una integral puede ser finita o infinita.

Observación 2. El lema de Fatou sigue siendo válido si sus supuestos son válidos en casi todas partes . En otras palabras, esto es suficiente para que haya un conjunto cero tal que la secuencia no disminuya para ningún $norte$ ${\ estilo de visualización \ {f_ {n} (x) \}}$ ${x\in X\setminus N}.$

Para entender por qué esto es así, comencemos con la observación de que la posibilidad de que una secuencia no decrezca puntualmente en casi todas partes lleva al hecho de que su límite puntual no está definido en algún conjunto cero . Una función se puede definir de cualquier manera que preserve la mensurabilidad. ${\ estilo de visualización \ {f_ {n} \}}$ $F$ $norte$ $norte$ $F$

Para ver por qué esto no afecta el resultado, tenga en cuenta que dado que para cualquier ${\ estilo de visualización {\ mu (N) = 0},}$ $k,$

\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu

\int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,

siempre que sea - medible. (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de la integral de Lebesgue para una función no negativa). $F$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$

Para mayor demostración, supongamos que . $\textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)$

Observación 3. Para cualquier $x\en X$

la secuencia no negativa no decrece puntualmente, es decir , para cualquier ; ${\ estilo de visualización \ {g_ {n} (x) \}}$ $g_{n}(x)\leq g_{n+1}(x)$ $n\geq 1$
$\textstyle f(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}(x)$ , por definición del límite inferior.

Observación 4. La siguiente demostración no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue distinta de las aquí establecidas.

Observación 5 (monotonicidad de la integral de Lebesgue). En la demostración a continuación, aplicamos la propiedad monótona de la integral de Lebesgue a funciones no negativas. Que las funciones sean - medibles. $f,g:X\to [0,+\infty )$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$

Si en todas partes entonces ${\ estilo de visualización f \ leq g}$ $X,$

\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .

si y entonces ${\ estilo de visualización X_ {1}, X_ {2} \ en \ Sigma}$ $X_{1}\subseteq X_{2},$

\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

prueba _

Definir como un conjunto de funciones simples y medibles tales que en todas partes en ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {SF} (h)}$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $s:X\to [0,\infty )$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq s \ leq h}$ $X.$

1. Desde entonces ${\ estilo de visualización f \ leq g,}$

\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).

Por la definición de la integral de Lebesgue y las propiedades del supremo

\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF))(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int_{X}s\,d\mu =\int_{X}g\,d\mu .

2. Sea la función indicadora del conjunto De la definición de la integral de Lebesgue, podemos concluir que ${\mathbf {1} }_{X_{1))$ ${\ estilo de visualización X_ {1}.}$

\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu

Nótese que para cualquier exterior Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica: $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ ${\ estilo de visualización X_ {1}.}$ $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$

\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

Prueba

Esta prueba es independiente del teorema de convergencia monótona de Levy . Sin embargo, aquí se explica cómo se puede aplicar este teorema.

Resultados intermedios. La integral de Lebesgue como medida.

Lema 1. Sea un espacio con medida . Considere una función no negativa medible simple . Para el subconjunto , definimos ${\ estilo de visualización (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $s:\Omega \to {\mathbb {R}_{\geq 0))$ $S\subseteq \Omega$

{\ estilo de visualización \ nu (S) = \ int _ {S} s \, d \ mu}

Entonces es la medida del conjunto . $\nu$ $\Omega$

"Continuidad desde abajo"

La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de una medida.

Lema 2. Sea una medida y , donde $\mu$ ${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty}S_{i))$

S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \ldots \subseteq S

cadena no decreciente con todos los conjuntos medibles. Después: $\mu$

{\ estilo de visualización \ mu (S) = \ lim _ {i} \ mu (S_ {i})}

. Prueba.

Paso 1. Probemos que - - es medible, para cualquier . $g_{n}=g_{n}(x)$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $n\geq 1$

De hecho, dado que el álgebra de Borel se genera mediante intervalos cerrados , basta con mostrar que , para cualquier , donde es la imagen inversa. $\sigma$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \))$ $\{[t,+\infty )\}_{-\infty \leq t\leq +\infty }$ $g_{n}^{-1}([t,+\infty ))\en \Sigma$ $t\in [-\infty,+\infty)$ $g_{n}^{-1}([t,+\infty ))$

Darse cuenta de:

{\displaystyle g_{n}(x)\geq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall k\geq n\quad f_{k}(x)\geq t{\Bigr )))

o, lo que es lo mismo:

{\begin{alineado}g_{n}^{-1}([t,+\infty ))&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\ derecha\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _ {k}f_{k}^{-1}([t,+\infty))\end{alineado}}

Tenga en cuenta que cada conjunto en el lado derecho pertenece a . Porque , por definición, está cerrado bajo intersecciones contables, entonces el lado izquierdo también pertenece a . Está probado que es - medible. $\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$ $g_{n}$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$

Paso 2. Ahora demostremos que - es medible. $F$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$

Si usamos el teorema de la convergencia monótona , la mensurabilidad se deriva de la Observación 3 . $F$

Alternativamente, basta con verificar que , para cualquier . Dado que la sucesión es puntual no decreciente ( observación 3 ), argumentando como en el primer paso, obtenemos: ${\ estilo de visualización f ^ {-1} ([0, t]) \ en \ Sigma}$ $t\in [0,+\infty])$ ${\ estilo de visualización \ {g_ {n} (x) \}}$

{\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall n\quad 0\leq g_{n}(x)\leq t{\Bigr )))

La mensurabilidad y la equivalencia anterior implican que $g_{n}$

f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\en \Sigma

Además, uno puede probarlo de dos maneras: usando el teorema de convergencia monótona de Levy o no usándolo.

Paso 3. Prueba usando el teorema

Por definición, , la sucesión no es decreciente para ningún . Como consecuencia $g_{n}\leqf_{n}$ ${\ estilo de visualización \ {g_ {n} (x) \}}$ $x\en X$

{\begin{alineado}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\lim _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\lim _{n}\int_{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf_{n}\int_{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \ liminf _{n}\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{alineado}}

que ha de probarse.

Paso 3. Sin usar el teorema

Definamos un conjunto de funciones medibles simples tales que en . ${\ estilo de visualización {SF} (f)}$ ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $s:X\to [0,\infty )$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq s \ leq f}$ $X$

Considere una función simple y un número real , defina: $s\in \operatorname {SF} (f)$ ${\ estilo de visualización t \ en (0,1)}$

B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.

Después

${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t))$ , y . ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t))$

Paso 3a. Dejar:

s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i))

para algún conjunto finito de conjuntos medibles disjuntos por pares tales que ; algunos números reales finitos . $A_{1},\ldots,A_{m}\en \Sigma$ $\textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots,c_{m))$

Después,

{\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_ {i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )))

Dado que la imagen inversa del conjunto de Borel de una función medible es una función medible, y el álgebra es, por definición, cerrada bajo intersecciones y uniones numerables, la primera afirmación está probada. ${\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ){\Bigr )))$ $[t\cdot c_{i},+\infty]$ $G k}$ $\sigma$

Paso 3b. Para probar la segunda afirmación, notamos que para cada uno y cualquier , $k$ $x\en X$ $g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).$

Paso 3c. Para probar la tercera afirmación, mostramos que . ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t))$

De hecho, de lo contrario , entonces hay un elemento ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t))$

x_{0}\in X\setminus \bigcup_{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap_{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})

tal que para cualquier . Considerando el límite en , obtenemos $g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})$ $k$ $k\to\infty$

f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).

Pero bajo la suposición inicial, . Contradicción. ${\ Displaystyle s \ leq f}$

Paso 4. Para cualquier función no negativa simple y medible : ${\ estilo de visualización (\ Sigma, \ nombre del operador {\ mathcal {B)) _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}}$ $s_{2}$

\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .

Para probarlo, definamos . ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ nu (S) = \ int _ {S} s_ {2} \, d \ mu}$

Por el Lema 1 , es medible el . ${\ estilo de visualización \ nu (S)}$ $\Omega$

Por el Lema 2 :

\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t))s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s ,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu

Paso 5. Probemos ahora que para cada ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)},$

$\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu$ .

De hecho, usando la definición , no negatividad y monotonicidad de la integral de Lebesgue, tenemos ${\displaystyle B_{k}^{s,t))$ $G k}$

$\forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t }}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu .$

De acuerdo con el paso 4 , para , la desigualdad toma la forma: $k\rightarrow\infty$

$t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu .$

Pasando al límite en , obtenemos: ${\ estilo de visualización t \ flecha arriba 1}$

$\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu ,$

que es lo que se requería.

Paso 6. Para completar la demostración, aplicamos la definición de integral de Lebesgue a la desigualdad establecida en el paso 5 , dado que $g_{n}\leq f_{n}:$

${\begin{alineado}\int_{X}f\,d\mu &=\sup_{s\in \operatorname {SF} (f)}\int_{X}s\,d\ mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d \mu \\&\leq \liminfo _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{alineado}}.$

La prueba está completa.

Ejemplos de desigualdad estricta

Denote por el espacio c el σ-álgebra de Borel con la medida de Lebesgue. $S$

Un ejemplo de un espacio de probabilidad. Let define un intervalo unitario. Para cualquier número natural definimos: ${\ estilo de visualización S = [0,1]}$ $norte$

$f_{n}(x)={\begin{casos}n,&x\en (0,1/n)\\0,&{\text{de lo contrario.))\end{casos))$

Un ejemplo con convergencia uniforme. Definamos el conjunto de todos los números reales. definamos $S$

$f_{n}(x)={\begin{casos}{\frac {1}{n)),&x\in [0,n]\\0,&{\text{de lo contrario.}}\ fin {casos}}$

Estas secuencias convergen puntualmente (respectivamente, uniformemente) a la función nula (con integral cero), pero cada una es integrable. $(f_{n})_{n\en \mathbb {N} }$ $S$ $f_n$

Papel de la no negatividad

Una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia de funciones es necesaria para el lema de Fatou, como se muestra en el siguiente ejemplo. Denote por con el σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para todo número natural n definimos ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ $S$ ${\ estilo de visualización [0, \ infinito)}$

$f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n)),&x\in [n,2n]\\0,&{\text{de lo contrario.)) \end{casos}}$

Esta sucesión converge uniformemente en la función nula (con integral cero) y para cualquiera tenemos para todos (así que para cada punto el límite 0 se alcanza en un número finito de pasos). Sin embargo, cada función tiene una integral de -1, por lo que el lema de Fatou no se cumple. $S$ ${\ estilo de visualización x \ geq 0}$ ${\ estilo de visualización f_ {n} (x) = 0}$ ${\ estilo de visualización n> x}$ $X$ $f_n$

Lema inverso de Fatou

Sea una sucesión de funciones reales medibles extendidas definidas sobre un espacio con medida . Si existe una función integrable no negativa tal que para todo , entonces ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ ${\ estilo de visualización (S, \ Sigma, \ mu)}$ $gramo$ $S$ $norte$ $f_{n}\leqg$

$\limsup_{n\to \infty}\int_{S}f_{n}\,d\mu \leq \int_{S}\limsup_{n\to \infty}g\,d \mu.$

Nota: aquí integrable significa que g es medible y que $gramo$ $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .$

Prueba

Apliquemos el lema de Fatou a la sucesión no negativa dada por $gf_{n}.$

Extensiones y variaciones del lema de Fatou

Integración sobre el límite inferior

Sea una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio con medida . Si existe una función integrable en tal que para todo , entonces ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ ${\ estilo de visualización (S, \ Sigma, \ mu)}$ $gramo$ $S$ ${\ Displaystyle f_ {n} \ geq-g}$ $norte$

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}g \,d\mu .}$

Prueba

Apliquemos el lema de Fatou a la sucesión no negativa dada por ${\ estilo de visualización f_ {n} + g}$

Convergencia puntual

Si en el párrafo anterior la sucesión , converge puntualmente a una función -casi en todas partes sobre , entonces ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ $F$ $\mu$ $S$

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty}\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

Prueba

Tenga en cuenta que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no afectan el valor de la integral.

Convergencia en medida

La última afirmación también es cierta si la sucesión converge en medida a la función . ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2},...}$ $F$

Prueba

Hay una subsucesión tal que

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S} }f_{n}\,d\mu .}$

Dado que esta subsecuencia converge en medida a , hay otra subsecuencia que converge puntualmente a casi todas partes, por lo que la variación anterior del lema de Fatou se aplica a esta subsecuencia. $F$ $F$

Lemma Fatou con diferentes medidas

En todas las formulaciones anteriores del lema de Fatou, la integración se realizó sobre una medida fija . Supongamos que es una secuencia de medidas en un espacio medible tal que: $\mu$ $\mu _{n}$ ${\ estilo de visualización (S, \ Sigma)}$

$\mu _{n}(E)\to \mu (E),~\forall E\in \Sigma .$

Entonces, cuando son funciones integrables no negativas y es su límite puntual, tenemos: $f_n$ $F$

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty}\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.$

Prueba

Converjamos , casi en todas partes, en un subconjunto de . Nuestro objetivo es mostrar que $f_n$ $\mu$ $mi$ $S$

$\int_{E}f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty}\int_{E}f_{n}\,d\mu_{n}\,.$

Dejar

$K=\{x\in E|f_{n}(x)\setminus f(x)\}.$

Entonces y $\mu (E\setminus K)=0$

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E\setminus K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E\setminus K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .$

Así, reemplazando por , podemos suponer que converge puntualmente a a . Además, observamos que para cualquier función simple tenemos: $mi$ $E\setminus K$ $f_n$ $F$ $mi$ $\fi$

$\int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty}\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.$

Por lo tanto, por la definición de la integral de Lebesgue, es suficiente mostrar que si cualquier función simple no negativa es menor o igual que , entonces $\fi$ $F$

$\int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}$

Sea el valor mínimo no negativo de . definamos $a$ $\fi$

$A=\{x\in E|\phi (x)>a\}$

Consideremos primero el caso en que tenemos, que es infinito, ya que $\int _{E}\phi \,d\mu =\infty .$ ${\ estilo de visualización \ mu (A)}$

$\int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),$

donde es el valor máximo (necesariamente finito) de . Entonces definiremos $METRO$ $\fi$

$A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.$

tenemos eso

$A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .$

Pero es una secuencia creciente anidada de funciones, y por lo tanto por menor continuidad , $Un}$ $\mu$

$\lim _{n\rightarrow \infty}\mu (A_{n})=\infty.$

De este modo,

$\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .$

Al mismo tiempo,

$\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\ int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,$

hemos probado este requisito en este caso.

En el caso restante, cuando , debe ser por supuesto. Denotar, como arriba, por el valor máximo y fijar . $\int _{E}\phi \,d\mu <\infty$ ${\ estilo de visualización \ mu (A)}$ $METRO$ $\fi$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon > 0.}$

$A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon)\phi (x)~\forall k\geq n\}.$

Entonces es una secuencia creciente anidada de conjuntos cuya unión contiene . Por lo tanto, es una sucesión decreciente de conjuntos con intersección vacía. Como tiene una medida finita (por lo que tuvimos que considerar dos casos separados): $Un}$ $A$ ${\displaystyle A\set menos A_{n))$ $A$

$\lim _{n\rightarrow \infty}\mu (A\setminus A_{n})=0.$

Así, hay tal que: $norte$

$\mu (A\setminus A_{k})<\epsilon,~\forall k\geq n.$

Porque:

$\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A\setminus A_{k})=\mu (A\setminus A_{k}),$

hay tal que: $norte$

$\mu _{k}(A\setminus A_{k})<\epsilon,~\forall k\geq N.$

Por lo tanto, para ${\ Displaystyle k\ geq N}$

${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\ geq (1-\epsilon)\int _{A_{k}}\phi\,d\mu _{k}.}$

Al mismo tiempo,

$\int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.$

Como consecuencia,

$(1-\epsilon)\int _{A_{k))\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon)\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int_{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu_{k}.$

La combinación de estas desigualdades da

$\int_{E}f_{k}\,d\mu_{k}\geq (1-\epsilon)\int_{E}\phi \,d\mu_{k}-\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu_{k}\geq \int_{E}\phi \,d\mu_{k}-\epsilon \left(\int_{ E}\phi\,d\mu _{k}+M\derecha).$

Por lo tanto, tendiendo a y tomando el límite inf a , obtenemos que $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización 0}$ $norte$

$\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,$

el lema está probado.

Lema de Fatou para expectativas condicionales

En la teoría de la probabilidad, cambiando la notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias pertenecientes a un espacio de probabilidad ; las integrales se convierten en expectativas matemáticas. Además, también existe una versión para expectativas matemáticas condicionales. ${\ estilo de visualización X_ {1}, X_ {2},...}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathrm {P} )$

Versión estándar

Sea una secuencia de variables aleatorias no negativas del espacio de probabilidad y sea una subálgebra. ${\ estilo de visualización X_ {1}, X_ {2},...}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathrm {P} )$ ${\mathcal {G}}\,\subconjunto \,{\mathcal {F}}$ $\sigma$

Entonces casi seguro. $\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$

Nota: la expectativa condicional de variables aleatorias no negativas siempre está estrictamente definida, no se requiere la expectativa final.

Prueba

Aparte del cambio de notación, la prueba es muy similar a la prueba de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo, se debe aplicar el teorema de convergencia monótona para los valores esperados condicionales.

Denote por el límite inferior a . Para cada número natural, definimos una estimación puntual de la variable aleatoria $X$ $X_n$ $k$

$Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.$

Entonces la sucesión crece y converge puntualmente a Por tenemos , entonces $Y_{1},Y_{2},...$ $X.$ ${\ Displaystyle k \ leq n}$ ${\displaystyle Y_{k}\leq X_{n))$

$\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$ casi con certeza debido a la monotonicidad de la expectativa matemática condicional, por lo tanto

$\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G} }]$ casi con certeza, porque una unión contable de conjuntos excepcionales de probabilidad cero es un conjunto cero. Usando la definición de , su representación como un límite puntual , el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales, la última desigualdad y la definición del límite inferior, se sigue que casi con certeza $X$ $Y_{k}$

${\begin{alineado}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{ \Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{ \Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \lim _{k\to \infty}\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]=\liminf_{n\to \infty}\ ,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{alineado}}$

Extensión a partes negativas uniformemente integrables

Sea una secuencia de variables aleatorias no negativas del espacio de probabilidad y sea una subálgebra. Si las partes negativas ${\ estilo de visualización X_ {1}, X_ {2},...}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathrm {P} )$ ${\mathcal {G}}\,\subconjunto \,{\mathcal {F}}$ $\sigma$

$X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },$

son uniformemente integrables con respecto a la expectativa condicional en el sentido de que para existe tal que $\varepsilon >0$ $c>0$

$\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}} {\bigr]}<\varepsilon$ para casi todos, $n\in \mathbb {N}$

después

$\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$ casi seguro

Nota: en el set, donde para

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty}X_{n))$

realizado:

$\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty,$

el lado izquierdo de la desigualdad es igual a más infinito. La expectativa condicional del límite inferior no se puede dar en este conjunto cero, ya que la expectativa condicional de la parte negativa también puede ser más infinito.

Prueba

Camino Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe tal que $\varepsilon > 0.$ $c>0$

$\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}} {\bigr]}<\varepsilon,$ para casi todos. ${\ estilo de visualización n \ en \ mathbb {N},}$

Porque el

$X+c\leq \liminf _{n\to \infty}(X_{n}+c)^{+},$

donde denota la parte positiva de lo real , usando la monotonicidad de la expectativa condicional y la versión estándar del lema de Fatou para la expectativa condicional, tenemos $x^{+}:=máx\{x,0\}$ $X$

$\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{ n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_ {n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G))]$ casi seguro

Porque el

$(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n} ^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\)),$

tenemos

$\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G))]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\ ,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon$ casi probablemente

Como consecuencia,

$\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\, {\mathcal {G}}]+\varepsilon$ casi seguro

De aquí se sigue la afirmación.

Véase también

Notas

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.
Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 pág.