Sistema dinámico lineal

Los sistemas dinámicos lineales son sistemas dinámicos cuya evolución en el tiempo se describe mediante una ecuación diferencial lineal (para sistemas con tiempo discreto, una ecuación diferencial lineal). Mientras que los sistemas dinámicos en general no tienen una solución de forma cerrada, los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver exactamente y tienen un gran conjunto de propiedades matemáticas. Los sistemas lineales también se pueden utilizar para comprender el comportamiento de los sistemas dinámicos generales calculando los puntos de equilibrio del sistema y aproximándolos como un sistema lineal alrededor de cada punto.

Introducción

En un sistema dinámico lineal, el cambio en el vector de estado (vector -dimensional denotado por ) es equivalente a una matriz constante (denotada por ) multiplicada por . Estos cambios pueden tomar dos formas: $norte$ $\mathbf{x}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{x}$

o como una corriente que cambia continuamente con el tiempo: $\mathbf{x}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)

o como un mapeo en el que varía discretamente : $\mathbf{x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m))

Estas ecuaciones son lineales en el siguiente sentido: si y son dos soluciones reales, entonces cualquier combinación lineal tiene dos soluciones, por ejemplo, donde y son dos escalares cualesquiera . La matriz no tiene que ser simétrica. ${\ estilo de visualización \ mathbf {x} (t)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {y} (t)}$ $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ $\alfa$ $\beta$ $\matemáticas {A}$

Los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver exactamente, a diferencia de la mayoría de los no lineales. A veces, un sistema no lineal se puede resolver exactamente cambiando las variables en el sistema lineal. Además, las soluciones de casi cualquier sistema no lineal se pueden encontrar aproximadamente equivalentes a un sistema lineal cerca de sus puntos fijos. Por lo tanto, comprender los sistemas lineales y resolverlos es un paso fundamental para comprender sistemas no lineales más complejos.

Soluciones de sistemas dinámicos lineales

Si el vector original está alineado con el vector propio en la matriz , la dinámica es simple $\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {k}}$ $\matemáticas {A}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {r}_{k}=\lambda_{k}\mathbf {r} _ {k}

donde es el valor propio correspondiente ; solución a esta ecuación $\lambda _{{k}}$

{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t))

como se puede confirmar por sustitución.

Si es diagonalizable , entonces cualquier vector en un espacio dimensional puede representarse mediante una combinación de vectores propios derecho e izquierdo (indicados por ) de la matriz . $\matemáticas {A}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {l} _ {k}}$ $\matemáticas {A}$

\mathbf {x}_{0}=\sum_{k=1}^{N}\left(\mathbf {l}_{k}\cdot \mathbf {x}_{0}\right )\mathbf {r} _{k}

Entonces, la solución general para una combinación lineal de las soluciones individuales para los vectores propios derechos es ${\ estilo de visualización \ mathbf {x} (t)}$

{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum_k=1}^{n}\left(\mathbf {l}_{k}\cdot \mathbf {x}_{0}\right) \mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t))

También se aplican consideraciones similares a las asignaciones discretas.

Clasificación en dos dimensiones

Las raíces del polinomio característico de la matriz ( A - λ I ) son los valores propios de A. El signo y la conexión de estas raíces entre sí se pueden usar para determinar la estabilidad de un sistema dinámico. $\lambda_n$

{\frac {d}{dt))\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).

Para sistemas bidimensionales , el polinomio característico es donde la traza de la matriz es el determinante que define A. Entonces las dos raíces son: $\lambda ^{2}-\tau\lambda +\Delta =0$ $\tau$ $\Delta$

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau^{2}-4\Delta}}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau^{2}-4\Delta}}}{2}}

Tenga en cuenta también que y . Así, si entonces los autovalores son de signo contrario, y el punto fijo es un punto silla . Si entonces los autovalores tienen el mismo signo. Por lo tanto, si ambos son positivos y el punto es inestable, y si ambos son negativos y el punto es estable. El discriminante nos dirá si el punto está en un nodo o en una espiral (es decir, si los valores propios son reales o complejos). ${\ estilo de visualización \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ tau = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta <0}$ ${\ estilo de visualización \ Delta > 0}$ ${\ estilo de visualización \ tau> 0}$ ${\ estilo de visualización \ tau <0}$

Sistema dinámico lineal

Introducción

Soluciones de sistemas dinámicos lineales

Clasificación en dos dimensiones

Véase también

Notas