Hexágono mágico

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Hexágono mágico o hexágono mágico de orden : un conjunto de números ubicados en una red hexagonal centrada con un lado de tal manera que la suma de los números en cada fila en todas las direcciones es igual a alguna constante mágica. $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización M.}$


Orden n = 1 $METRO=1$	Orden n = 3 ${\ estilo de visualización M = 38}$

Un hexágono mágico ordinario solo puede ser de orden (el caso es trivial, y no hablaremos de eso aquí) o puede contener números del uno al Además, excepto los espejos, solo hay un hexágono mágico de orden $n=1$ ${\ estilo de visualización n = 3}$ ${\ estilo de visualización 3n^{2}-3n+1.}$ ${\ estilo de visualización n = 3.}$

El hexágono mágico se ha publicado muchas veces como un fenómeno nuevo. El descubridor es probablemente Ernst von Haselberg ( alemán : Ernst von Haselberg ) en 1887.

Prueba de unicidad

Probemos que existen hexágonos mágicos de único orden y $n=1$ ${\ estilo de visualización n = 3.}$

Calculemos la constante mágica Por un lado, el hexágono contiene números del uno al (esto es fácil de demostrar descomponiendo la figura en tres paralelogramos). Es decir, la suma de todos los números en el hexágono ${\ estilo de visualización M.}$ ${\ estilo de visualización 3n^{2}-3n+1}$

S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).

Por otro lado, hay filas (por ejemplo, las verticales) que incluyen todos los números del hexágono. Como la suma de los números en cada fila es igual , entonces en todo el hexágono habrá ${\ estilo de visualización 2n-1}$ ${\ estilo de visualización M,}$ ${\ estilo de visualización S = M (2n-1).}$

Igualando las sumas, obtenemos que

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1))

A la izquierda hay un número entero . Entonces, también debe haber un número entero a la derecha.

Por lo tanto, es un número entero, que sólo es posible para y ${\ estilo de visualización {\ cfrac {5} {2n-1}}}$ $n=1$ ${\ estilo de visualización n = 3.}$

QED .

Hexágonos mágicos anómalos

Si bien no hay hexágonos mágicos normales de otro orden que este, hay hexágonos mágicos anómalos de otros órdenes. $n=3$

Los hexágonos mágicos anómalos son hexágonos formados de acuerdo con las reglas anteriores, sin embargo, comenzando el conteo de números no desde uno, sino desde un número diferente.

14 33 30 34 39 6 24 20 22 37 13 11 8 25 17 21 23 7 9 3 10 38 36 4 5 12 28 26 35 16 18 27 15 19 31 29 32	41 51 63 45 44 64 25 40 46 35 34 23 20 10 56 27 42 66 55 38 19 9 6 22 48 47 61 58 18 11 8 7 13 15 53 52 37 14 16 30 12 9 3 8 4 5 3 1 2 33 43 26 60 65 50	56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 19 16 31 38 64 57 22 20 15 18 23 49 63 47 21 21 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 72 72 72 72 72 72 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50
Orden 4 Comienza con y termina con ${\ estilo de visualización M = 111}$ $3$ $39$	Orden 5 Comienza con y termina con . ${\ estilo de visualización M = 244}$ $7$ ${\ estilo de visualización 66}$	Orden 5 Comienza con y termina con . ${\ estilo de visualización M = 305}$ $quince$ ${\ estilo de visualización 75}$

El hexágono de orden mágico que comienza y termina con ( ) fue creado por Louis Hoelbling el 11 de octubre de 2004. $n=6$ ${\ estilo de visualización 21}$ ${\ estilo de visualización 111}$ ${\ estilo de visualización M = 546}$

El hexágono de orden que comienza en 2 y termina en 128 ( ) fue creado por Arsen Zahray el 22 de marzo de 2006. ${\ estilo de visualización n = 7}$ ${\ estilo de visualización M = 635}$

El hexágono de orden más grande que se conoce actualmente , que comienza en −84 y termina en 84 ( ), fue creado por Louis K. Hoelbling el 5 de febrero de 2006. $n=8$ ${\ estilo de visualización M = 0}$

Véase también

Notas

Literatura

Panadero. JE y King, DR (2004) "El uso del esquema visual para encontrar las propiedades de un hexágono" Visual Mathematics, Volumen 5, Número 3
Baker, JE and Baker, AJ (2004) "El hexágono, elección de la naturaleza" Arquímedes, Volumen 4