Problema de ajedrez matemático

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El tablero de ajedrez con las piezas colocadas en él y los movimientos de las piezas sirvieron como un modelo conveniente que dio lugar a una serie de problemas y acertijos , incluidos los que trataron los matemáticos famosos.

Las más populares son las siguientes tareas, conocidas desde el siglo XIX .

El problema de las ocho reinas

Se requiere colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez para que no se amenace entre sí (es decir, ninguna reina debe estar en la misma vertical, horizontal o diagonal con cualquier otra reina), y averiguar de cuántas maneras puede ser esto hecho. E. Science en 1850 encontró 92 de tales posiciones, y James Glaisher probó ( 1874 ) que no hay otras soluciones. Para cualquier decisión, una reina siempre está en la casilla a4 o en las casillas a5, d8, e8, h5, h4, e1, d1 que son simétricas a ella. Hay 12 posiciones que no se pueden obtener entre sí mediante rotaciones e imágenes especulares.

El problema también se puede generalizar a tableros cuadrados arbitrarios de tamaño . En todos los tableros, puedes colocar reinas que no se amenacen entre sí. Del mismo modo, para otras piezas (torres, alfiles, caballos, reyes), se puede plantear el problema de su número máximo, que se pueden colocar en un tablero de cierta dimensión cuando no se amenazan entre sí. Las torres de esta manera se pueden colocar en un tablero regular 8 (lo cual es obvio). Es fácil probar que hay 32 caballos - en casillas del mismo color, alfiles - 14. Los reyes pueden colocarse 16. Estos problemas se llaman problemas sobre la independencia de las piezas de ajedrez.

Los problemas en los que se busca el número mínimo de piezas que mantengan bajo ataque todas las casillas del tablero y todas sus posiciones se denominan problemas de dominancia de piezas de ajedrez.

El problema de sortear el tablero de ajedrez con un caballo

Se requiere, habiendo colocado el caballo en cualquier campo del tablero ("el primer movimiento"), pasar secuencialmente por todos los campos sin ocupar ninguno de ellos dos veces. Si después de este movimiento 65 el caballo puede llegar a la casilla original, la ruta se considera cerrada. El algoritmo más simple para resolver este problema es la regla de Varnsdorf: el movimiento se realiza en el campo desde el que se puede realizar el menor número de movimientos. Si hay varios campos de este tipo, se selecciona cualquiera. Sin embargo, este algoritmo no siempre conduce a una solución. La probabilidad de una opción sin salida depende de la elección del campo inicial. Es mínima cuando se parte del campo de la esquina y algo más, por ejemplo, si se parte del campo c1.

El problema del rey intocable

Las blancas tienen un rey en c3 (c6, f6 o f3) y una dama, mientras que las negras tienen un rey. ¿Pueden las blancas siempre jaque mate sin mover su rey? La solución se obtuvo con la ayuda de una computadora (A. L. Brudno e I. Ya. Landau, 1969). El mate se da a más tardar en el movimiento 23, con cualquier posición de la dama y el rey negro.

Con otras posiciones del rey blanco y un rey negro libre, es imposible dar jaque mate.

Literatura