Matrices de Dirac

Las matrices de Dirac (también conocidas como matrices gamma ) son un conjunto de matrices que satisfacen relaciones especiales de anticonmutación. A menudo se utiliza en la mecánica cuántica relativista.

Definición

Las matrices de Dirac son cualquier conjunto de matrices que satisfacen la ecuación

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^ {\mu}=2\eta^{\mu\nu}yo,

donde está la métrica de Minkowski de la firma I es la matriz de identidad, las llaves denotan el anticonmutador . ${\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (+--- \ derecha),}$

Una forma posible de elegir matrices de Dirac en el espacio 4D es la siguiente:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}),\quad \gamma ^{1}={\begin{ bmatriz}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatriz)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatriz}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

(Representación de Dirac; también se utilizan las representaciones de Weyl y Majorana ).

Quinta Matriz Gamma, ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {5}}$

Es útil definir el producto de cuatro matrices gamma de la siguiente manera:

\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\ \0&1&0&0\end{bmatriz}}

(en la representación de Dirac).

${\ estilo de visualización \ gamma ^ {5}}$ se puede escribir en una forma alternativa:

\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alfa}\gamma^{\beta},

donde es el tensor de Levi-Civita . ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ alfa \ beta}}$

Esta matriz es útil cuando se habla de quiralidad en la mecánica cuántica. Por lo tanto, el campo de espinor de Dirac se puede proyectar sobre su componente izquierda o derecha:

\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5 }}{2}}\psi

Algunas propiedades : ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {5}}$

Hermiticidad :

{\ estilo de visualización (\ gamma ^ {5}) ^ {\ daga} = \ gamma ^ {5}.}

Los autovalores son ±1 porque

(\gamma ^{5})^{2}=I.

Anticonmuta con otras cuatro matrices gamma:

\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^ {5}=0.

Estructura de bloque

Las matrices de Dirac se pueden escribir de forma compacta como matrices de bloques usando las matrices de Pauli σ 1 , σ 2 , σ 3 , complementadas por la matriz identidad I . En opinión de Dirac:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1 }\\-\sigma _{1}&0\end{bmatriz)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatriz}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.

En la representación de Weil , siguen siendo los mismos, pero difieren, por lo tanto, también cambiaron: ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {k}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {5}}$

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\ \-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix)).

La representación de Weyl tiene la ventaja de que las proyecciones quirales toman una forma simple:

\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\ psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}} \psi.

También hay una representación de Majorana , en la que todas las matrices gamma son imaginarias y los espinores son reales:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\ comenzar{bmatriz}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{bmatriz}}

\gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{3}={ \begin{bmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma ^ {2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{bmatriz}}.

En la ciencia moderna, la propiedad principal es la propiedad definitoria de las matrices gamma, y no su representación numérica.

Identidades

No.	Identidad
una	${\ estilo de visualización \ estilo de visualización \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} = 4I}$
2	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu ))$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
cuatro	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma } \gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu ))$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\ gama ^{5}$

No.	Identidad
0	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {tr} (\ gamma ^ {\ mu}) = 0}$
una	Todo producto de un número impar tiene traza cero. ${\ estilo de visualización \ gamma _ {\ mu}}$
2	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu ))$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu } \eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
cuatro	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{ \mu \nu \rho \sigma}$

Las identidades de Firtz también son válidas para las matrices de Dirac .

La definición de matrices gamma se generaliza a espacios de otras dimensiones, donde su número puede diferir.

Véase también

Literatura

Zee E. Teoría cuántica de campos en pocas palabras. - Izhevsk: RHD, 2009. - 632 p.
Peskin M., Schroeder D. Introducción a la teoría cuántica de campos. - Izhevsk: RHD, 2002. - 784 p.
W.Pauli. Contribuciones matemáticas a la teoría de las matrices de Dirac (francés) // Ann. Inst. Henri Poincaré :revista. - 1936. - Vol. 6 _ — Pág. 109 .