Juegos de matriz
En matemáticas, los juegos de matrices se entienden como un juego de suma cero de dos personas con un número finito de estrategias. El pago está determinado por la matriz del juego (matriz de pago), que también es la forma normal del juego .
Juego matricial y programación lineal
Sea la matriz de juego dada por el conjunto de estrategias del primer jugador , el conjunto de estrategias del segundo jugador y la matriz de pagos .
![A[M,N]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0953e96410bdb1d99ad7ad0c655d5534694e4c)
Considere dos problemas de programación lineal
Tarea 1
Encuentra el máximo
![{\ estilo de visualización 1^{T} [N] y [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e46703d41498d498dba747b2a28ac473b11e3f)
Con restricciones
![{\displaystyle A[M,N]y[N]\leq 1[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b315c53d2ed4bb58b4bf7bb830e27c03b6a1b030)
![{\ estilo de visualización y [N] \ geq 0 [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69dfa0761c7858ba23bd2c7a93c508228718ecc9)
Problema 2 (doble)
Encuentra el mínimo
![{\ estilo de visualización 1^{T} [M] x [M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d091fec68148f551e8bac254a916650e0d5c10c8)
Con restricciones
![{\displaystyle A^{T}[N,M]x[M]\geq 1[N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c704dac00203d961e8872af2caf7835972f76c)
![{\ estilo de visualización x [M] \ geq 0 [M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9be5961e130eb29c9065a925b10fb0635e18f0)
Se sabe que las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. El juego de matrices tiene un valor de juego positivo
2. Los problemas 1 y 2 son solucionables, además, si es el precio del juego,
y son soluciones óptimas,
![{\ estilo de visualización x [M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb850dd72a94b5dcb9c93e36b4e94a132857a74)
![{\ estilo de visualización y [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41cb408346f831e35a31685137996f1a3372328)
después
![{\displaystyle 1/v=1^{T}[N]y[N]=1^{T}[M]x[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25431eb206d63dc4ee3df3d40b4d9baf48bc009a)
y , serán las estrategias mixtas óptimas de los jugadores.
Nota: cuando puede agregar una constante (lo suficientemente grande) a todos los elementos de la matriz, que no cambia las estrategias de los jugadores. Puede, por ejemplo, encontrar el elemento mínimo (negativo) y usar su valor absoluto como un aditivo.
Enlaces
- Karlin S. Métodos matemáticos en teoría de juegos, programación y economía M., Mir, 1964
- Owen G. Teoría de juegos. M. "Mir", M., 1971