Metodo kummer

Método de Kummer : en la teoría de series de números , E. Kummer propuso un método que le permite reemplazar una serie dada por otra que converge más rápido .

Supongamos que hay una serie de números convergentes y se requiere encontrar su suma con una precisión dada. Para aumentar la tasa de convergencia de esta serie se utiliza el método de Kummer, que consiste en lo siguiente. Se selecciona una serie de suma conocida tal que la diferencia $a_k$ ${\ Displaystyle b_ {k}}$

c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty

En este caso, el valor se puede representar como una suma donde la serie converge más rápido que la serie original y se conoce la suma de la serie. Esto quiere decir que para obtener la suma de una serie con una precisión dada en el segundo caso, es necesario tomar un número menor de términos de la serie . ${\displaystyle S=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k))$ ${\displaystyle S=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}+\sum_{k=0}^{\infty}c_{k))$ ${\ Displaystyle c_ {k}}$ ${\ Displaystyle b_ {k}}$ ${\ Displaystyle c_ {k}}$

Por ejemplo, para aumentar la tasa de convergencia de la serie

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\tfrac {1}{k^{2))))

se puede usar cerca

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)))=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\ tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1

cuya suma se conoce, y anote

\sum_{k=1}^{\infty}{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits_{k=1}^{\infty}{\ fracción {1}{k^{2}(k+1)}}

La transformación de Kummer se puede aplicar no a todos los miembros de la serie original, sino solo a los miembros de la serie, a partir de un lugar determinado. En este caso, varios miembros de la serie original permanecen sin cambios.

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. Vol. 2, pág. 415.