Método de Lagrange para reducir una forma cuadrática a una forma canónica

El método de Lagrange es un método para reducir una forma cuadrática a una forma canónica , indicado en 1759 por Lagrange .

Descripción

Este método consiste en la selección sucesiva de cuadrados completos en forma cuadrática. Sea dada una forma cuadrática:

\sum_{{i=1}}^{n}\sum_{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

Debido a la simetría de la matriz, la forma cuadrática se puede reescribir de la siguiente manera: $a_{{ij}}(a_{{ij}}=a_{{ji}})$

{\sum_{{i=1}}^{n}\sum_{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}}={\sum_ {i=1}}^{n}({a_{{ii}}{x_{i}}^{2}+\sum_{{j=i+1}}^{n}{2a_{{ij }}x_{i}x_{j}}})}

Dos casos son posibles:

al menos uno de los coeficientes cuadrados es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad, supondremos (esto siempre se puede lograr mediante la renumeración adecuada de variables); $a_{{ii}}$ $a_{{11}}\neq 0$
todos los coeficientes , pero hay un coeficiente distinto de cero (para definirlo, déjelo ser ). $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$ $a_{{ij}},i\neqj$ $a_{{12}}\neq 0$