Método de regularización de Tikhonov

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El método de regularización de Tikhonov es un algoritmo que permite encontrar una solución aproximada a problemas de operadores mal planteados de la forma . Fue desarrollado por AN Tikhonov en 1965 [1] . La idea principal es encontrar una solución aproximada de la ecuación en la forma , donde es el operador de regularización. Debe asegurarse de que al acercarse al valor exacto de , la solución aproximada tenderá a la solución exacta deseada de la ecuación . [2] $hacha = tu$ $Ax=u$ $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$ $R(u_{\delta },\alpha )$ $u_{\delta}$ ${\ estilo de visualización u_ {T}}$ ${\ estilo de visualización \ delta \ a 0}$ ${\ Displaystyle x_ {\ delta}}$ ${\ estilo de visualización x_ {T}}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Operador de regularización

Un operador que depende del parámetro se denomina operador de regularización de la ecuación si tiene las siguientes propiedades: $R(u,\alfa )$ $\alfa$ $Ax=u$

Definido para cualquiera y cualquiera . $\alfa >0$ $tu en ti$
Si , entonces existe tal que para cualquiera existe tal que si , entonces , donde , , es una métrica en el espacio (es decir , la distancia entre los vectores y ), y es una métrica en el espacio . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alfa (\delta)$ $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización \ delta (\ varepsilon)}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {U} (u_ {T}, u_ {\ delta}) \ leqslant \ delta (\ varepsilon)}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {F} (x_ {T}, x_ {\ alfa}) \ leqslant \ varepsilon}$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ $\alfa =\alfa (\delta)$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {U}}$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {U} (u_ {T}, u_ {\ delta})}$ ${\ estilo de visualización u_ {T}}$ $u_{\delta}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {F}}$ $X$

Método para construir operadores de regularización

Para una amplia clase de ecuaciones , A. N. Tikhonov demostró que la solución del problema de minimización del funcional puede considerarse como el resultado de aplicar un operador regularizador que depende del parámetro . El funcional se llama estabilizador de tareas . $hacha = tu$ $x_{{\alfa ))$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })+\alpha \Omega \left[ x\derecho]$ $\alfa$ $x_{{\alfa }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alfa )$ $\Omega \izquierda[x\derecha]$ $hacha = tu$

Ejemplo de aplicación

Encontremos una solución normal (más cercana al origen) del sistema de ecuaciones lineales con una precisión correspondiente a la precisión de establecer los elementos de la matriz y la columna en el caso en que los valores de los elementos de la matriz y la columna de términos libres se dan sólo aproximadamente. $X$ $AX=B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Planteamiento del problema

Considere un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial: . Llamemos normas esféricas de cantidad . Denotemos como valores aproximados conocidos de los elementos de la matriz y columna . Una matriz y una columna se llamarán aproximación de una matriz y una columna si se satisfacen las desigualdades . Introduzcamos el funcional . El teorema de Tikhonov reduce la cuestión de encontrar la solución normal aproximada de un sistema de ecuaciones a encontrar el elemento en el que esta funcional alcanza su valor mínimo. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum_{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\ estilo de visualización {\ tilde {A)], {\ tilde {B))}$ $A$ $B$ ${\ tilde {A}}$ ${\ tilde {B}}$ $\delta$ $A$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)))=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ alfa}}$

Teorema de Tikhonov

Que la matriz y la columna satisfagan las condiciones que aseguran la compatibilidad del sistema , es una solución normal de este sistema, es una aproximación de la matriz , es una aproximación de la columna y son funciones crecientes que tienden a cero en y tal que Entonces para any hay un número positivo tal que para any y para any que satisface la condición , el elemento que proporciona el mínimo a la funcional satisface la desigualdad [3] [4] . $A$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\ tilde {A}}$ $\delta$ $A$ ${\ tilde {B}}$ $\delta$ $B$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ izquierda (\ delta \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ izquierda (\ delta \ derecha)}$ $\delta$ ${\ estilo de visualización \ delta \ flecha derecha +0}$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alfa$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)))\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\ alfa))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alfa {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant\varepsilon$

Notas

↑ Tikhonov A. N. Sobre problemas mal planteados de álgebra lineal y un método estable para su solución // DAN SSSR, 1965, v. 163, n.° 3, p. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , p. 264.
↑ Álgebra lineal, 2004 , pág. 100.
↑ Métodos para resolver problemas mal planteados, 1979 , p. 119.

Literatura

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Álgebra lineal. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 p. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Métodos para resolver problemas mal planteados. - M. : Nauka, 1979. - 283 p.
Arsenin V. Ya. Métodos de física matemática y funciones especiales. — M .: Nauka, 1974. — 430 p.