Menor (álgebra lineal)

Un menor en álgebra lineal es el determinante de una matriz cuadrada más pequeña recortada de una matriz dada al eliminar una o más de sus filas y columnas. El orden de la matriz se llama orden de ese menor. Si solo los elementos diagonales de la matriz están ubicados en la diagonal de la matriz , entonces el menor se llama principal . $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

El menor adicional del elemento de la matriz deorden -ésimo es el determinante del ordencorrespondiente a la matriz, que se obtiene de la matriz eliminandola fila -ésima y lacolumna -ésima. Por ejemplo, para una matriz: $norte$ $n-1$ $i$ $j$

M={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix))

se obtiene un menor adicional de segundo orden eliminando la segunda fila y la tercera columna: ${\bar{M}}_{2}^{3}$

{\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix))

\longrightarrow

{\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13

El determinante de la matriz se puede definir en términos de menores adicionales a los elementos: $n\veces n$ $M=(a_{ij})$

|M|=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}

donde es un menor adicional al elemento . ${\bar {M}}_{j}^{1}$ $\a_{{1j}}$

La base menor de una matriz es cualquiera de sus menores distintos de cero de orden máximo. Para que un menor sea básico, es necesario y suficiente que todos los menores que lo bordean (es decir, los menores que lo contienen por un orden mayor) sean iguales a cero. El sistema de filas (columnas) de la matriz asociado a la base menor es el subsistema máximo linealmente independiente del sistema de todas las filas (columnas) de la matriz.

Literatura

Minor -artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . V. N. Remeslennikov