Función analítica multivaluada

Una función analítica multivaluada es una función compleja multivaluada obtenida por continuación analítica a lo largo de todos los caminos.

Un elemento analítico es un par , donde ( para funciones de varias variables) es un dominio en y una función analítica de un solo valor en este dominio. ${\ estilo de visualización (F, f)}$ $F\subconjunto {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subconjunto \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $F$

Dos elementos analíticos y se denominan continuación analítica directa entre sí a través del dominio si la intersección no es vacía y en uno de los componentes conexos de la intersección de la función y son iguales. ${\ estilo de visualización (F, f)}$ ${\ estilo de visualización (G, g)}$ $\Delta$ $F\cap G$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ subconjunto F \ cap G}$ $F$ $gramo$

Un elemento analítico se denomina continuación analítica de un elemento a través de una cadena de dominios si existe tal cadena de elementos que cada elemento es una continuación analítica directa del elemento a través de un dominio . ${\ estilo de visualización (F_{n},f_{n})}$ ${\ estilo de visualización (F_{0},f_{0})}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {1}, \ ldots, \ Delta _ {n}}$ ${\ estilo de visualización (F_{1},f_{1}),\ldots,(F_{n-1},f_{n-1})}$ ${\ estilo de visualización (F_{i},f_{i})}$ ${\ estilo de visualización (F_ {i-1}, f_ {i-1})}$ $\Delta _{i}$

Se puede definir una relación de equivalencia entre elementos basada en el concepto de continuación analítica. Consideraremos un elemento equivalente a un elemento si es una continuación analítica de . Es fácil probar que esta relación es una relación de equivalencia. De acuerdo con esta relación de equivalencia, el conjunto de todos los elementos analíticos se puede dividir en clases de equivalencia. Estas mismas clases de equivalencia se denominan funciones analíticas completas. Escribamos una definición rigurosa. ${\ estilo de visualización (F, f)}$ ${\ estilo de visualización (G, g)}$ ${\ estilo de visualización (G, g)}$ ${\ estilo de visualización (F, f)}$

Una función analítica completa de una variable compleja es un conjunto no vacío de elementos analíticos tales que para cualquier elemento analítico del conjunto, todos los demás son su continuación analítica y cualquier elemento que sea una continuación analítica se incluye en este conjunto. ${\ estilo de visualización (F, f)}$ ${\ estilo de visualización (F, f)}$

La analiticidad se puede definir en alguna área. Una función analítica $A$ en un dominio es un conjunto de elementos analíticos tales que: ${\ estilo de visualización (F_ {\ alfa}, f_ {\ alfa})}$

Todos $F_{\alpha }\subconjunto A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
Para cualquier elemento, cualquier otro elemento es una continuación analítica a través de una cadena de regiones que se encuentran en ${\ estilo de visualización (F, f)}$ ${\ estilo de visualización (G, g)}$ ${\ estilo de visualización (F, f)}$ $A$
Para cualquier elemento , cualquier otro elemento , que es una continuación analítica a través de una cadena de regiones que se encuentran en , está incluido en el conjunto ${\ estilo de visualización (F, f)}$ ${\ estilo de visualización (G, g)}$ ${\ estilo de visualización (F, f)}$ $A$

Un elemento incluido en este conjunto se denomina elemento de una función analítica. Esta definición se identifica con una función multivaluada en el siguiente sentido. El valor de una función analítica en un punto es el valor de todas las funciones de los elementos en ese punto para los cuales el punto está incluido en el conjunto correspondiente. $a$ $a$