Polinomios de Schur

Los polinomios de Schur son polinomios simétricos en variables de una forma especial, denominada así por I. Schur , parametrizados por particiones de enteros no negativos en una suma de términos desordenados, o lo que es lo mismo, por diagramas de Young con no más de columnas. Los coeficientes de su asignación como polinomios en los polinomios simétricos elementales de Newton están relacionados con los valores de los caracteres de las representaciones correspondientes del grupo simétrico . $norte$ $norte$ $norte$ $S_{n}$

Formal definición

El polinomio de Schur correspondiente a la partición es [1] ${\ estilo de visualización \ lambda,}$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda_{j}+nj})_{i, j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}.

También hay fórmulas que expresan polinomios de Schur en términos de polinomios simétricos elementales y polinomios simétricos completos : ${\ Displaystyle e_ {r}}$ ${\ Displaystyle h_ {r}}$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n }

, donde ,

{\ estilo de visualización n \ geq l (\ lambda)}

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq metro}

, donde se conjuga la partición a , y también .

{\ estilo de visualización \ lambda '}

\lambda

{\ estilo de visualización m \ geq l (\ lambda ')}

En particular, y . ${\ estilo de visualización s_ {(n)} = h_ {n}}$ $s_{(1^{n})}=e_{n}$

Conexión con representaciones del grupo simétrico

El polinomio de Schur , correspondiente al diagrama de Young , se expresa en términos de polinomios simétricos elementales de Newton con coeficientes expresados en términos de valores de caracteres , correspondientes a la representación del grupo simétrico . A saber, $s_{\lambda}(x_1,\puntos,x_n)$ $\lambda=(\lambda_1,\puntos,\lambda_n)$ $p_k(x_1,\puntos,x_n)=\sum_j x_j^k$ $\chi_{\lambda}$ $\lambda$ $S_{n}$

s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p ^{r_k}_k}{r_k!},

donde la notación significa que en la clase de conjugación hay ciclos de longitud en la expansión de la sustitución en ciclos disjuntos . $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\puntos)$ $\rho$ $r_j$ $j$

Enlaces

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, " Funciones de Schur desplazadas ", Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146