Polinomio de Laurent

Un polinomio de Laurent de una variable sobre un campo es una combinación lineal de potencias positivas y negativas de la variable con coeficientes de . El polinomio de Laurent se diferencia de los polinomios ordinarios en que el exponente puede ser negativo. Los polinomios de Laurent son de particular interés para estudiar en la teoría de funciones de una variable compleja ( ver series de Laurent ). $\matemáticas {F}$ $\matemáticas {F}$

Definición

Un polinomio de Laurent con coeficientes de un campo es una expresión de la forma $\matemáticas {F}$

p=\sum_{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

donde X es una variable formal, es un número entero (no necesariamente positivo) y solo un número finito no es negativo. $k$ $paquete}$

Dos polinomios de Laurent son iguales si sus respectivos coeficientes son iguales. Los polinomios de Laurent se pueden sumar y multiplicar como los polinomios ordinarios, pero tenga en cuenta que puede haber potencias negativas de X

\left(\sum_{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum_{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum_ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

\left(\sum_{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum_{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum_{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Porque el número de coeficientes no negativos y es finito, entonces todas las sumas tendrán un número finito de términos y, por lo tanto, mostrarán el polinomio de Laurent. $a_{j}$ $b_{j}$

Propiedades

Un polinomio de Laurent sobre un campo puede verse como una serie de Laurent con un número finito de coeficientes no negativos. $\matemáticas {C}$
El anillo de polinomios de Laurent es un subanillo del anillo de funciones racionales fraccionarias .

Literatura

Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1968. — 564 p.