Problema de aguja

El problema de la aguja consiste en determinar el área mínima de una figura en un plano en el que un solo segmento, la "aguja", se puede girar 180 grados, devolviéndola a su posición original con una orientación invertida. Esto se puede hacer en un círculo con un radio de 1/2. Otro ejemplo, una figura delimitada por un deltoides , se muestra en la imagen, tiene un área más pequeña.

Resulta que es posible construir una figura con un área arbitrariamente pequeña.

Historia

Esta pregunta fue considerada por Kakeya . Demostró que para regiones convexas , el área mínima la alcanza un triángulo equilátero con altura 1. Su área es [1] .

Quizás Kakeya también planteó la hipótesis de que una figura delimitada por un deltoides , como en la figura, tiene el área más pequeña. Esta afirmación ha sido refutada por Besikovich .

El conjunto de Besicovitch

Besikovich construyó un conjunto compacto de medida cero que contenía un segmento unitario en cualquier dirección.

De esto se deduce fácilmente que la aguja se puede desplegar en una figura de un área arbitrariamente pequeña. De hecho, es fácil ver que el círculo unitario puede dividirse en sectores y colocarse en una vecindad arbitrariamente pequeña del conjunto mediante una traslación paralela .

Tenga en cuenta que el segmento unitario se puede mover a una línea paralela en una figura de área arbitrariamente pequeña. Por lo tanto, al girar un segmento en un sector, se puede arrastrar al siguiente, pasando por un conjunto de áreas arbitrariamente pequeñas; repitiendo esta operación varias veces, obtenemos el giro deseado.

Variaciones y generalizaciones

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F |, que es igual a cero en un conjunto arbitrario con un número menor de puntos. Por lo tanto, el conjunto de Besikovich debe tener al menos | F | n / n ! puntos. Dvir escribió un artículo de revisión sobre este problema. [catorce]

Aplicaciones

Véase también

Notas

  1. Pal, Julio. Ueber ein elementares versionsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
  2. Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
  3. Cunningham, F. El problema de Kakeya para conjuntos simplemente conectados y en forma de estrella // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, núm. 2.- S. 114-129. -doi : 10.2307/ 2317619 .
  4. Davies, Roy. Algunas observaciones sobre el problema de Kakeya // Proc. Filosofía de Cambridge. Soc.. - 1971. - T. 69, núm. 3.- S. 417-421. -doi : 10.1017/ S0305004100046867 .
  5. Wolff, Thomas. Un límite mejorado para las funciones máximas de tipo Kakeya // Rev. Estera. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. -doi : 10.4171 / rmi/188 .
  6. Katz, Nets Hawk; Tao, Terencio. Nuevos límites para los problemas de Kakeya // J. Anal. Matemáticas.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. -doi : 10.1007/ BF02868476 .
  7. Marstrand, JM Packing Planes en R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, núm. 2.- S. 180-183. -doi : 10.1112/ S0025579300009748 .
  8. Falconer, KJ Propiedades de continuidad de integrales del plano k y conjuntos de Besicovitch // Math. proc. Filosofía de Cambridge. Soc.. - 1980. - T. 87, núm. 2.- S. 221-226. -doi : 10.1017/ S0305004100056681 .
  9. Bourgain, Jean . Operadores maximales tipo Besicovitch y aplicaciones al análisis de Fourier // Geom. Función Anal.. - 1997. - Vol. 1, número. 2.- S. 147-187. -doi : 10.1007/ BF01896376 .
  10. Wolff, Thomas. Un problema de Kakeya para círculos // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, núm. 5.- S. 985-1026. -doi : 10.1353/ ajm.1997.0034 .
  11. Wolff, Thomas (1999).
  12. Stein, Elías. Funciones máximas: Medios esféricos // PNAS. - 1976. - T. 73, núm. 7.- S. 2174-2175. -doi : 10.1073/ pnas.73.7.2174 . PMC 430482
  13. Marstrand, JM Empacando círculos en el plano // Actas de la London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. -doi : 10.1112 / plms/s3-55.1.37 .
  14. 1 2 Dvir, Zeev (2009).
  15. Prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya de campo finito Archivado el 3 de mayo de 2016 en Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
  16. Fefferman, Charles. El problema del multiplicador para la pelota // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, núm. 2.- S. 330-336. -doi : 10.2307/ 1970864 .

Literatura