Problema de aguja

El problema de la aguja consiste en determinar el área mínima de una figura en un plano en el que un solo segmento, la "aguja", se puede girar 180 grados, devolviéndola a su posición original con una orientación invertida. Esto se puede hacer en un círculo con un radio de 1/2. Otro ejemplo, una figura delimitada por un deltoides , se muestra en la imagen, tiene un área más pequeña.

Resulta que es posible construir una figura con un área arbitrariamente pequeña.

Historia

Esta pregunta fue considerada por Kakeya . Demostró que para regiones convexas , el área mínima la alcanza un triángulo equilátero con altura 1. Su área es [1] .

Quizás Kakeya también planteó la hipótesis de que una figura delimitada por un deltoides , como en la figura, tiene el área más pequeña. Esta afirmación ha sido refutada por Besikovich .

El conjunto de Besicovitch

Besikovich construyó un conjunto compacto de medida cero que contenía un segmento unitario en cualquier dirección.

De esto se deduce fácilmente que la aguja se puede desplegar en una figura de un área arbitrariamente pequeña. De hecho, es fácil ver que el círculo unitario puede dividirse en sectores y colocarse en una vecindad arbitrariamente pequeña del conjunto mediante una traslación paralela .

Tenga en cuenta que el segmento unitario se puede mover a una línea paralela en una figura de área arbitrariamente pequeña. Por lo tanto, al girar un segmento en un sector, se puede arrastrar al siguiente, pasando por un conjunto de áreas arbitrariamente pequeñas; repitiendo esta operación varias veces, obtenemos el giro deseado.

Variaciones y generalizaciones

• En la construcción de Besikovich, así como el área de una figura tiende a cero, su diámetro tiende a infinito. En 1941, H.J. Van Alphen demostró [2] que una aguja puede desplegarse en una figura de área arbitrariamente pequeña, que está dentro de un círculo con un radio de 2 + ε (para un ε arbitrario > 0).

• Simplemente hay conjuntos adecuados conectados (en los que se puede girar la aguja) con un área más pequeña que la de la figura delimitada por el deltoides.
  • Tales ejemplos se encontraron en 1965. Melvin Bloom e I. Yu. Schoenberg demostraron que su área puede hacerse arbitrariamente cercana a .
  • En 1971, Cunningham demostró [3] que para cualquier ε > 0 existe una figura conexa adecuada con área menor que , contenida en un círculo de radio 1.

• Definimos un conjunto Besicovitch en R n como un conjunto de medida cero que contiene un segmento unitario en cualquier dirección (este conjunto también se denomina conjunto Kakeya o conjunto Kakeya). La llamada conjetura de Kakeya establece que los conjuntos de Besicovitch tienen dimensión n (según Hausdorff y según Minkowski ), es decir, igual a la dimensión del espacio ambiente.
  • La conjetura de Kakei es cierta en las dimensiones 1 y 2 [4] .
  • Wolff demostró [5] que en un espacio n -dimensional la dimensión del conjunto de Besicovitch debe ser al menos ( n + 2)/2.
  • En 2002, Katz y Tao mejoraron la estimación de Wolff [6] al demostrar que la dimensión no puede ser inferior a . Este límite es mejor para n > 4.

• Definimos un conjunto ( n , k )-Besicovitch como un conjunto compacto en R n de medida cero que contiene en cada dirección k -dimensional un disco unitario k -dimensional.Conjetura sobre conjuntos ( n , k )-Besicovitch: Los conjuntos ( n , k )-Besicovitch no existen para k > 1.
  • En 1979, Marstrand demostró [7] que no existe un conjunto (3, 2)-Besicovitch.
  • Casi al mismo tiempo, Faulkner demostró [8] que no hay conjuntos ( n , k ) para 2 k > n .
  • La mejor estimación hasta ahora pertenece a Bourgain, quien demostró [9] que los conjuntos con 2 k -1 + k > n no existen.

• En 1997 [10] y 1999 [11] , Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cualquier radio deben tener dimensión completa, es decir, la dimensión del espacio ambiental.

• Elias Stein demostró [12] que cualquier conjunto que contenga una esfera alrededor de cada punto debe tener medida positiva para n ≥ 3, y Marstrand demostró lo mismo [13] para el caso de n = 2.

• En 1999, Wolff formuló un análogo del problema de la aguja para campos finitos . Sea F  un campo finito. Un conjunto K ⊆ F n se llama conjunto de Besicovitch si para todo vector y ∈ F n existe x ∈ F n tal que K contiene todos los vectores de la forma { x + ty  : t ∈ F }.

• Problema de la aguja en el espacio sobre un campo finito : El número de elementos en K es al menos c n | F | n , donde c n >0 es una constante que depende solo de n .
• Dvir [14] [15] probó esta conjetura para c n = 1/ n ! usando el siguiente argumento. Dvir notó que cualquier polinomio con n variables de grado menor que | F |, que es igual a cero en el conjunto de Besicovitch, debe ser idénticamente igual a cero. Por otro lado, los polinomios con n variables de grado menores que | F | formar un espacio vectorial de dimensión

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F |, que es igual a cero en un conjunto arbitrario con un número menor de puntos. Por lo tanto, el conjunto de Besikovich debe tener al menos | F | n / n ! puntos. Dvir escribió un artículo de revisión sobre este problema. [catorce]

Aplicaciones

• En 1971, Fefferman usó [16] la construcción del conjunto de Besicovitch para mostrar que, en dimensiones mayores que 1, las integrales truncadas de Fourier tomadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden a infinito pueden no converger en la norma L p en p ≠ 2 (en contraste con el caso unidimensional, donde tales integrales truncadas convergen).

Véase también

• Deltoides
• problema de lebesgue
• Un montón de Nicodemo

Notas

1. ↑ Pal, Julio. Ueber ein elementares versionsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. El problema de Kakeya para conjuntos simplemente conectados y en forma de estrella // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, núm. 2.- S. 114-129. -doi : 10.2307/ 2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Algunas observaciones sobre el problema de Kakeya // Proc. Filosofía de Cambridge. Soc.. - 1971. - T. 69, núm. 3.- S. 417-421. -doi : 10.1017/ S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. Un límite mejorado para las funciones máximas de tipo Kakeya // Rev. Estera. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. -doi : 10.4171 / rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terencio. Nuevos límites para los problemas de Kakeya // J. Anal. Matemáticas.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. -doi : 10.1007/ BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes en R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, núm. 2.- S. 180-183. -doi : 10.1112/ S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ Propiedades de continuidad de integrales del plano k y conjuntos de Besicovitch // Math. proc. Filosofía de Cambridge. Soc.. - 1980. - T. 87, núm. 2.- S. 221-226. -doi : 10.1017/ S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgain, Jean . Operadores maximales tipo Besicovitch y aplicaciones al análisis de Fourier // Geom. Función Anal.. - 1997. - Vol. 1, número. 2.- S. 147-187. -doi : 10.1007/ BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Un problema de Kakeya para círculos // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, núm. 5.- S. 985-1026. -doi : 10.1353/ ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elías. Funciones máximas: Medios esféricos // PNAS. - 1976. - T. 73, núm. 7.- S. 2174-2175. -doi : 10.1073/ pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Empacando círculos en el plano // Actas de la London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. -doi : 10.1112 / plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya de campo finito Archivado el 3 de mayo de 2016 en Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. El problema del multiplicador para la pelota // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, núm. 2.- S. 330-336. -doi : 10.2307/ 1970864 .

Literatura

• Yaglom IM , Boltyansky VG Figuras convexas . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (Biblioteca del círculo matemático, número 4).

• Besicovitch, Abram (1963). "El problema Kakeya". American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR2312249 . _ MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). "Sobre el tamaño de los conjuntos de Kakeya en campos finitos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Halconero, Kenneth J. (1985). La Geometría de los Conjuntos Fractales . Cambridge Tracts en Matemáticas 85 . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Algunos problemas sobre máximos y mínimos con respecto a los óvalos". Informes científicos de Tohoku 6 : 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "Se establece un límite mejorado en la dimensión de Minkowski de Besicovitch " (PDF) . Anales de Matemáticas 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR2661389 . _ MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). "Trabajo reciente relacionado con el problema de Kakeya". En Rossi, Hugo. Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. páginas. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, eds. Conferencias sobre análisis armónico . Serie de conferencias universitarias 29 . Con prólogo de Charles Fefferman y prefacio de Izabella Łaba. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• El problema de Kakeya y conexiones con el análisis armónico en la Universidad de Columbia Británica.
• Besicovitch en UCLA
• Problema de la aguja kakeya en mathworld
• Una introducción a los conjuntos de Besicovitch-Kakeya