Función monogénica

Se dice que una función es monogénica (o diferenciable en el sentido de un análisis complejo ) en un punto si el límite $f\dos puntos {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\in {\matemáticas {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

existe y es el mismo para acercarse a un punto a lo largo de un camino arbitrario. El papel clave en esto lo juega la llamada condición de Cauchy-Riemann . Una función que es monogénica en la vecindad de un punto se llama holomorfa en ese punto. Una función que es monogénica en todos los puntos de algún dominio abierto se dice que es holomorfa en ese dominio. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\in {\matemáticas {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

Una función se llama poligénica si dicho límite depende del camino y tiene infinitos valores. Se puede demostrar que una función de valor complejo puede ser monogénica o poligénica, y se excluye el caso de la existencia de un número finito de valores diferentes de este límite.

Ejemplo. La función es monogénica en cero: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

y la función es poligénica: $f(z)=\overline z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi}}{|z|e^{i\phi}}}=e^{-2i\phi},

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatorname {sgn} ^{-2}z,

donde φ es el argumento del número z − 0, y sgn es la función de signo complejo de , que toma un valor cuyo módulo es siempre la unidad.

Véase también

Literatura

Bitsadze A.V. Fundamentos de la teoría de funciones analíticas de variable compleja - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Introducción al análisis complejo - M., Nauka, 1969.