Puntuaciones M

Las estimaciones de máxima verosimilitud (MLEs) están determinadas por una de las siguientes condiciones:

\sum_{i}\ln P_{i}\to \max_{\theta \in \Theta},\qquad \sum_{i}{\frac {\parcial \ln P_{i)) {\ \theta parcial }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

donde en el caso de una muestra no agrupada, y en el caso de una muestra agrupada , $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{yo}}$

Estimaciones M : hay una cierta generalización de las armas de destrucción masiva. Se definen de manera similar por una de las relaciones:

$\sum_{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max_{\theta \in \Theta},\qquad \sum_{i=1} ^{N}\fi (x_{i},\theta)=0$

Si imponemos una condición de regularidad en la sustitución y la diferenciamos respecto a 0: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\parcial }{\parcial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\parcial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\parcial \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\parcial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ t parcial}}

0=IF\int {\frac {\parcial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\parcial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\fi (x,T(F_{t,x}))

entonces no es difícil obtener la expresión de la función de influencia para estimaciones M : $SI={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Esta expresión nos permite concluir que las estimaciones M son equivalentes hasta un factor constante distinto de cero.

Es fácil comprobar que para el MLE de la ley de distribución normal estándar, las funciones de influencia del parámetro de desplazamiento y el parámetro de escala se ven, respectivamente: ${\mathcal {N}}(0,1)$ ${\ estilo de visualización SI}$

SI=x,\quad SI={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Estas funciones son ilimitadas, lo que significa que el MLE no es robusto en términos de robustez B.

Para corregir esto, las estimaciones M limitan artificialmente y, por lo tanto, lo limitan (consulte la expresión para estimaciones M), estableciendo una barrera superior en la influencia de las observaciones de valores atípicos (lejos de los valores esperados de los parámetros). Esto se hace introduciendo las llamadas estimaciones M truncadas , definidas por la expresión: ${\ estilo de visualización SI}$ ${\ estilo de visualización SI}$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{matriz}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{matriz}}\right.$

donde , y son estimaciones de los parámetros de desplazamiento y escala, respectivamente. $z={\frac{x-\theta}{S}}$ $\ theta$ $S$

Entre las estimaciones M truncadas, las MLE truncadas son óptimas desde el punto de vista de la robustez B.

Véase también

Robustez en las estadísticas

Fuentes

Robert G. Staudte: Estimación y pruebas robustas . Wiley, Nueva York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Introducción a la estimación robusta y la prueba de hipótesis . Prensa académica, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3