Desigualdad de Bernstein (análisis matemático)

La desigualdad de Bernstein relaciona la norma de la derivada de un polinomio con la norma del polinomio mismo.

Redacción

Sea un polinomio trigonométrico de valor real de grado , entonces: $f_n$ $norte$

{\displaystyle \|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty ))

La desigualdad con constante fue establecida por el matemático ruso Sergei Natanovich Bernstein en 1912. $2n$
Edmund Landau obtuvo un refinamiento , quien demostró la desigualdad con una constante óptima . $norte$
En 1914, Marcel Ries extendió la última desigualdad al caso de polinomios trigonométricos con coeficientes complejos arbitrarios.
A. Sigmund en 1933 lo transfirió a espacios $L^{p}$ con : $p\geqslant 1$ $\|f_n'\|_p \leqslant n\|f_n\|_p$ .
V. V. Arestov en 1979 demostró la validez de la desigualdad y para . $0<p<1$
Además, las llamadas desigualdades de Bernstein para varias métricas de la forma

\|f_n'\|_p \leqslant C(n, p) \|f_n\|_\infty