Polinomio trigonométrico

Un polinomio trigonométrico es una función de un argumento real que es una suma trigonométrica finita, es decir, una función representada como:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ pecado(kx))

donde es el argumento y los coeficientes , y . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización k = 1,2,...,n}$

En forma compleja, según la fórmula de Euler, dicho polinomio se escribe de la siguiente manera:

{\displaystyle f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

donde _ $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac{(a_{k}+ib_{k})}{2}}$

Esta función es infinitamente diferenciable y -periódica- continua en el círculo unitario. $2\pi$

Los polinomios trigonométricos son el medio más importante para aproximar funciones, se utilizan para la interpolación y la resolución de ecuaciones diferenciales .

De acuerdo con el teorema de Weierstrass , para cualquier función continua en un círculo, existe una secuencia de polinomios trigonométricos que converge uniformemente a él.

Un polinomio trigonométrico es una suma parcial de una serie de Fourier . Según el teorema de Fejer , la secuencia de medias aritméticas de las sumas parciales de la serie de Fourier converge uniformemente a una función continua sobre el círculo. Esto proporciona un método constructivo simple para construir una secuencia uniformemente convergente de polinomios trigonométricos.

Literatura

Diccionario enciclopédico matemático . - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.- S. 847 .
Zhuk VV, Natanson G.I. Series trigonométricas de Fourier y elementos de la teoría de la aproximación. - L. : Editorial Leningrado. un-ta, 1983. - S. 188.