Desigualdad de Vysochansky-Petunin

En la teoría de la probabilidad , la desigualdad de Vysochansky -Petunin da un límite inferior a la probabilidad con la que una variable aleatoria con varianza finita se encuentra dentro de un intervalo cuyos límites se dan como una cierta parte de la desviación estándar del valor medio de esta variable aleatoria. Por otro lado, esto equivale a decir que la desigualdad indica un límite superior en la probabilidad de que la variable aleatoria quede fuera de este intervalo. La única restricción sobre la función de densidad de probabilidad es que debe ser unimodal y tener una varianza finita. (De esto se deduce que tal función de densidad de distribución es continua excepto por el punto modal, que puede tener una probabilidad mayor que cero). Esta desigualdad también es cierta para distribuciones muy sesgadas, lo que establece límites para el conjunto de valores de una variable aleatoria que se encuentran dentro de un cierto intervalo.

Sea X una variable aleatoria con distribución unimodal, valor medio y varianza finita distinta de cero . Entonces para cualquier , $\mu$ $\sigma^{2}$ $\lambda >{\sqrt {8 \over 3}}\approx 1.63299$

P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2))}.

También se muestra que en el caso cuando , hay distribuciones asimétricas para las cuales se viola el límite. ${\ estilo de visualización \ lambda <{\ sqrt {8 \ sobre 3}}}$ $4 \over {9\lambda^{2}}$

Este teorema fortalece la desigualdad de Chebyshev , incluyendo la fracción , debido a que la restricción de unimodalidad se impone sobre la densidad de distribución de la variable aleatoria. ${\ estilo de visualización 4 \ más de 9}$

En las aplicaciones de la estadística matemática se utiliza muy a menudo una regla heurística en la que , que corresponde al límite superior de la probabilidad , y así se construye un límite que incluye el 95,06% del valor de la variable aleatoria. En el caso de una distribución normal, la puntuación mejora al 99,73%. ${\ estilo de visualización \ lambda = 3}$ ${\ estilo de visualización {4 \ más de 81} \ aproximadamente 0,04938}$

Véase también

Desigualdad gaussiana , un resultado similar donde la distancia se toma de la moda en lugar de la media.

Fuentes

Vysochansky D. F., Petunin Yu. I. Justificación de la regla 3-sigma para distribuciones unimodales. — Teoría de la probabilidad y mat. estadísticas, 1979, no. 21, pág. 23-35.