Desigualdad de Huygens

La desigualdad de Huygens es un nombre popular en la literatura en idioma ruso para uno de los casos especiales de la desigualdad de Jensen .

Redacción

deja _ Después ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathbb {R} }_{+))$

1+{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{a_{i))))\leq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _ {i=1}^{n}{(1+a_{i})}}}

Relación con la desigualdad de Jensen

Tomando el logaritmo de ambos lados de la desigualdad y renombrando , obtenemos $a_{i}=e^{x_{i))$

\ln(1+e^{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}})\leq {\frac {1 {n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\ln {(1+e^{x_{i))))}}

Y esta es exactamente la desigualdad de Jensen para la función , que es convexa, ya que ${\displaystyle f(x)=\ln {(1+e^{x)))))$

f'(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=1-{\frac {1}{1+e^{x}}}

f''(x)={\frac {1}{(1+e^{x})^{2}}}>0

No trivialidad de la desigualdad

Renombrando y elevando ambas partes de la desigualdad a la -ésima potencia, obtenemos. que es equivalente a la desigualdad ${\displaystyle x_{i}={\sqrt[{n}]{a_{i))))$ $norte$

{\left({1+\prod \limits _{i=1}^{n}{x_{i))}\right)}^{n}\leq \prod \limits _{i=1 }^{n}{(1+{x_{i}}^{n})}

Después de abrir los corchetes, las partes izquierda y derecha tendrán dos términos comunes: y . En los casos en que todos , o cuando todos , uno de estos términos resulta ser el más grande, algunos el más pequeño, y los valores del resto (sin tener en cuenta los coeficientes para ellos después de abrir el binomio de Newton ) están entre ellos. Es la desigualdad entre las sumas de productos completamente diferentes de estos términos intermedios la principal dificultad para derivar la desigualdad directamente, sin la desigualdad de Jensen. $una$ $\prod \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{n}}$ ${\ estilo de visualización x_ {i} <1}$ ${\ estilo de visualización x_ {i}> 1}$

Literatura

L. V. Radzivilovskiy. Generalización de la desigualdad de permutación y la desigualdad de Mongolia // Educación Matemática . - 2006. - Nº 10 .