Desigualdad de Schweitzer

La desigualdad de Schweitzer dice lo siguiente

Para cualquier número real que pertenezca al intervalo , donde , se cumple la siguiente desigualdad: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Además, si es impar, entonces $\;norte$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac{(mM)^{2}}{4mM}}.

Historia

Esta desigualdad fue publicada en 1914 en un artículo [1] del matemático húngaro Miklós Schweitzer . Hay una traducción al inglés de este artículo en el apéndice de [2] . Dado que pocas personas estaban familiarizadas con el artículo de Schweitzer antes de que apareciera la traducción al inglés, la desigualdad (su segunda parte) generalmente se asocia [3] con el nombre de Alexandru Ioan Lupaš , quien demostró [4] esta desigualdad casi 60 años después que Schweitzer.

Desigualdades equivalentes

( V. Sierpinski [5] ) Para cualquier número positivo , $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

donde A y G denotan la media aritmética y la media geométrica , respectivamente . $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$

Consecuencias

( O. Shisha [6] ) Para cualquier número real perteneciente al segmento , donde , la desigualdad es verdadera: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). Los números reales pertenecen al intervalo , donde . Bajo la condición y se cumple la siguiente desigualdad: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Generalizaciones

Kantorovich

Notas

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Matemáticas. es. física Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("Desigualdad que contiene la media aritmética")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Algunos comentarios sobre seis desigualdades asociadas con la ineficiencia de los mínimos cuadrados ordinarios con un regresor // Álgebra lineal y su aplicación. : diario. - 1997. - vol. 264 . - P. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Desigualdades clásicas y nuevas en el análisis. Matemáticas y sus Aplicaciones . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - vol. 61.- (Serie de Europa del Este).
↑ Lupaş A. Una observación sobre las desigualdades de Schweitzer y Kantorovich (neopr.) // Publ. Elek. falso Universidad Beogrado Ser. Estera. i Fiz.. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (alemán) // Warsch. Sitzungsber. : tienda. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Alemán)
↑ Shisha O. Desigualdades I . - Nueva York-Londres, 1967. - S. 293-308.

Fuente

A. Jrabrov. Desigualdad de Schweitzer // En Sat. Tareas de la Olimpiada de San Petersburgo para Escolares en Matemáticas, 2005. Dialecto Nevsky, 2005. - S. 89--96.. Archivado el 20 de mayo de 2006.