Estado accesible

Definición

Sea una cadena de Markov homogénea con tiempo discreto. Se dice que un estado es accesible desde un estado si existe tal que $\{X_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ $j$ $i$ ${\ estilo de visualización n = n (i, j)}$

p_{ij}^{(n)}\equiv \mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)>0

ellos escriben ${\ estilo de visualización i \ flecha derecha j}$

Estados comunicantes

Los estados y se denominan comunicantes si y . Escribimos: . $i$ $j$ ${\ estilo de visualización i \ flecha derecha j}$ ${\ estilo de visualización j \ flecha derecha i}$ $I izquierda derecha flecha j$
La propiedad de comunicación genera una relación de equivalencia en el espacio de estados . Las clases de equivalencia generadas se denominan clases indescomponibles . Si una cadena de Markov es tal que sus estados forman solo una clase indescomponible, entonces se llama indescomponible .
Los estados que pertenecen a la misma clase indescomponible son todos recurrentes o todos no recurrentes. Por lo tanto, una clase indescomponible como un todo es recurrente o no recurrente. Finalmente, una cadena de Markov irreducible es completamente recurrente o completamente irreversible.

Ejemplos

Sea una cadena de Markov de tres estados , y su matriz de probabilidad de transición tiene la forma ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0))$ ${\ estilo de visualización \ {1,2,3\))$

P=\left({\begin{matriz}0.5&0.5&0\\0.1&0.9&0\\0&0&1\end{matriz}}\right).

Los estados de esta cadena forman dos clases indescomponibles: y . En particular, , pero también . ${\ estilo de visualización \ {1,2 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {3 \}}$ ${\ estilo de visualización 1 \ flecha izquierda derecha 2}$ ${\ estilo de visualización 1 \ no \ flecha derecha 3}$ ${\ estilo de visualización 3 \ no \ flecha derecha 1}$

Cadena de Markov definida por la matriz de probabilidades de transición

P=\left({\begin{matriz}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{matriz}}\right)

indescomponible.

Clasificación de estados y cadenas de Markov
Estado	aperiódico retornable realizable irrevocable insignificante cero periódico positivo comunicado importante
Cadena	aperiódico retornable irrevocable indescomponible cero periódico positivo descomponible ergódico