Smith forma normal

La forma normal de Smith es una matriz diagonal (no necesariamente cuadrada) sobre el dominio ideal principal , cada elemento diagonal del cual es divisible por el anterior. Cualquier matriz sobre el dominio de los ideales principales se puede reducir a la forma normal de Smith multiplicando izquierda y derecha por matrices invertibles [1] .

Redacción

Para cualquier matriz de tamaño sobre el dominio de los ideales principales , existen matrices invertibles sobre y tales que , donde es divisible por . Aquí denota la matriz de tamaño con las entradas diagonales especificadas y ceros en las posiciones restantes. $A$ $m\veces n$ $R$ $R$ $B$ $C$ $BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots,g_{p},0,\ldots,0)$ $g_{i+1}$ ${\ Displaystyle g_ {i}}$ $\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots,g_{p},0,\ldots,0)$ $m\veces n$

Aplicaciones

El teorema de la forma normal de Smith implica el conocido teorema sobre la estructura de módulos finitamente generados sobre dominios ideales principales . En particular, si es el anillo de números enteros, entonces la forma normal de Smith produce un teorema sobre la estructura de grupos abelianos finitamente generados, y si es el anillo de polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado , entonces puede usarse para derivar un teorema sobre la forma de Jordan del operador lineal . $R$ ${\ estilo de visualización R = F [t]}$ $F$

Véase también

forma normal hermítica

Notas

↑ Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. 128.

Literatura

Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .