Oscilaciones de Zener-Bloch

Las oscilaciones de Zener-Bloch son oscilaciones de una partícula que se mueve en un potencial periódico bajo la acción de una fuerza constante. Un ejemplo de un sistema en el que tales vibraciones pueden ocurrir es un sólido cristalino. En cristales reales, es difícil crear condiciones para observar oscilaciones de Zener-Bloch, pero se han observado en sistemas artificiales, por ejemplo, superredes .

Clarence Zener [1] consideró tales oscilaciones para electrones de cristal en un campo eléctrico externo. Felix Bloch generalizó la teoría al caso de cualquier partícula y cualquier fuerza.

Consideración semiclásica

Si ignoramos las transiciones entre bandas de electrones en presencia de un campo eléctrico externo , entonces el desplazamiento de un electrón en el espacio k está completamente determinado por la segunda ley de Newton: $\mathbf {E}$

\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}

Donde es la carga elemental (en estas notaciones, la carga de un electrón es igual a C). En ausencia de colisiones, el electrón atraviesa toda la primera zona de Brillouin , se refleja desde su límite, cruza la zona nuevamente y se refleja nuevamente en el límite. Como resultado, tal movimiento de un electrón en la banda bajo la acción de un campo eléctrico constante tiene el carácter de oscilaciones en el espacio y, por lo tanto, en el espacio ordinario. Estas oscilaciones se denominan oscilaciones de Zener (un caso parcial de un campo eléctrico) y oscilaciones de Bloch (un caso general de un campo potencial de cualquier naturaleza). $mi$ ${\displaystyle -e=-1.6\cdot 10^{-19))$ $\matemáticas {k}$

Deje que el campo se dirija a lo largo del vector de red recíproco , que determina la posición del límite de la zona de Brillouin que refleja los electrones. En una oscilación, un electrón viaja una distancia . Si , donde es la constante de red, entonces la frecuencia cíclica es igual a: $\mathbf {E}$ ${\matemáticas{K}}$ $k$ $K={\frac{2\pi}{a}}$ $a$

\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}

Dado que A, para el campo V/m , la frecuencia es de aproximadamente Hz. Las oscilaciones están limitadas en el espacio. En tal situación, el potencial de perturbación modifica los niveles de energía en la zona. Y los estados, cuya energía difiere en un valor , cambian las energías a lo largo de los bordes de la zona. Las energías iguales crean los llamados. la escalera Stark, llamada así porque su ocurrencia se asemeja al efecto Stark en la física atómica. Está claro que la amplitud de las oscilaciones espaciales está determinada por el ancho de la zona : ${\ estilo de visualización a \ aproximadamente \; 3}$ $2\cdot 10^{6}$ ${\ estilo de visualización 10^{13}}$ $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ $eEa$ $L_{z}$ ${\ Displaystyle W_ {b}}$

L_{z}={\frac{W_{b}}{2eE}}

Dado que hay un estado por celda unitaria, el número total de oscilaciones sigue siendo el mismo, pero los intervalos entre los niveles de energía adyacentes siguen siendo finitos e idénticos.

Teoría cuántica [2]

La función de onda de un electrón en el estado Zener-Bloch obviamente difiere de una onda viajera, ya que ya no es un buen número cuántico. Considerando el potencial aplicado como una perturbación, encontramos: $\matemáticas {k}$

{\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi_{ z}

\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum_{\mathbf {k} }^{\propto}\;c_{k}\phi_{ k}(\mathbf {r} )

donde están las funciones de banda de Bloch, . La teoría de la perturbación da ${\ estilo de visualización \ psi _ {k} (\ mathbf {r})}$ ${\sombrero {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$

c_{k'}=\sum_{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf { r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}

El elemento de la matriz se calcula más convenientemente teniendo en cuenta

\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )

Pasar de la sumatoria a la integración usando la relación $\matemáticas {k}$

\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}

e integrando por partes, usando la propiedad de ortogonalidad de las ondas planas, obtenemos:

\sum_{\mathbf {k} }^{\propto}\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}

donde encontramos las derivadas

{\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}

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c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d \mathbf {k} \right\rbrace

Para que la función de onda sea periódica, la función debe ser periódica. si ponemos $c_{k}$

W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),

donde es la energía del centro de la banda, entonces la condición de periodicidad implica la igualdad de las energías ${\displaystyle W_{k}=W_{0))$

W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),

donde es un número entero y es un vector de celda unitaria. En consecuencia, el estado al que corresponde el valor propio se localiza en el espacio de la celda elemental situada en el punto , de donde, suponiendo , encontramos $norte'$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ Displaystyle W_ {z}}$ $n'\mathbf {a}$ $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$

c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int_{}^{}{\frac { iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace

Las funciones de onda de Bloch aquí toman la forma

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto}\;u_{k}(\mathbf {r} ) \exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .

Ahora puede usar un modelo simple que describe la zona en la dirección del campo : $\mathbf {E}$

W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka

{\ estilo de visualización - {\ frac {\ pi {a}} <k <{\ frac {\ pi {a)),}

donde es el ancho de la zona. Además, suponemos que la función de . Después ${\ Displaystyle W_ {b}}$ $u_{k}(\mathbf{r} )$ $\matemáticas {k}$

\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum_{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \ izquierda\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =

=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a ,

donde es la función de Bessel, es un número entero y el campo está dirigido a lo largo del eje . En el punto , la función se comporta como una onda estacionaria con un vector de onda de magnitud , es decir, la longitud del vector de onda es igual a la mitad de la distancia desde el centro de la zona de Brillouin hasta su límite. Cuando , la expansión asintótica da ${\ estilo de visualización J_ {n} (z)}$ $norte$ $X$ $x = x_0$ ${\ estilo de visualización J_ {n} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ pi / 2a}$ $|x_{0}-x|\gg\,a$

J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a }}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}- x|}}\derecha)^{|x_{0}-x|/a}

donde es la amplitud clásica de las oscilaciones espaciales, y es la base de los logaritmos naturales. Está claro que en , la función de onda decae muy rápidamente. Disminuye en , alcanzando un máximo en el punto . El comportamiento de esta función de onda se parece cualitativamente al comportamiento de un oscilador armónico: crece en los extremos del segmento, correspondiente a los puntos de inflexión clásicos. Para observar este fenómeno, es necesario satisfacer las condiciones $L_{z}$ $e_{n}$ $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ ${\ estilo de visualización | x_ {0}-x | \ flecha derecha 0}$ ${\ estilo de visualización |x_{0}-x|=L_{z}/2}$

{\ estilo de visualización \ omega _ {z} \ tau> 1,}

donde es el tiempo entre colisiones. Por lo general, el cronometraje se lleva a cabo para estados cercanos a los bordes de la zona. Los valores típicos son aprox . Como resultado, el electrón que realiza las oscilaciones de Zener-Bloch la mayor parte del tiempo se encuentra cerca de los bordes de la banda y, por lo tanto, es razonable tomar una estimación de tiempo de alrededor de . Para ello es necesario crear campos que excedan V/m. En muchos casos, un campo tan fuerte puede provocar la ruptura del semiconductor. $\tau$ $\tau$ $\tau$ $10^{{-13}}$ $10^{{-13}}$ $2\cdot 10^{6}$

Notas al pie

↑ Clarence Zener. Teoría de ruptura eléctrica de dieléctricos sólidos // Proc. Roy. soc. A.. - 1934. - T. 145 . - S. 523 - 529 . -doi : 10.1098/ rspa.1934.0116 .
↑ Ridley B. Procesos cuánticos en semiconductores / Per. De inglés. I. P. Zvyagin, A. G. Mironov. — M .: Mir, 1986. — 304 p.

Oscilaciones de Zener-Bloch

Consideración semiclásica

Teoría cuántica [2]

Notas al pie

Véase también