Una raíz primitiva módulo m es un entero g tal que
y
adonde es la función de Euler . En otras palabras, una raíz primitiva es un generador del grupo multiplicativo de un anillo de residuos módulo m .
Para no verificar todo desde hasta , es suficiente verificar tres condiciones:
Las raíces primitivas existen solo en módulos de la forma
,donde es un número primo y es un entero. Sólo en estos casos el grupo multiplicativo del anillo residual módulo m es un grupo de orden cíclico .
Para una raíz primitiva g , sus potencias g 0 =1, g , …, g φ( m ) − 1 son módulo m incomparables y forman un sistema reducido de residuos módulo m . Por lo tanto, para todo número coprimo de m , existe un exponente l, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ( m ) − 1, tal que
Tal número ℓ se llama índice de a en base g .
Si módulo m existe una raíz primitiva g , entonces existen φ(φ( m )) diferentes raíces primitivas módulo m , y todas ellas tienen la forma , donde y .
La investigación de Vinogradov mostró que existe una constante tal que para cada número primo existe una raíz primitiva . En otras palabras, para módulos simples, la raíz primitiva mínima es de orden . El matemático Victor Shupe de la Universidad de Toronto demostró que si la " hipótesis de Riemann generalizada " es cierta, entonces la raíz primitiva se encuentra entre los primeros números de la serie natural [2] .
Las raíces primitivas para módulos simples fueron introducidas por Euler , pero la existencia de raíces primitivas para cualquier módulo simple solo fue demostrada por Gauss en " Investigaciones aritméticas " (1801).
El número 3 es una raíz primitiva módulo 7. Para ver esto, basta representar cada número del 1 al 6 como una determinada potencia de un triple módulo 7:
Ejemplos de raíces primitivas más pequeñas módulo m (secuencia A046145 en OEIS ):
Módulo m | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
raíz primitiva | una | 2 | 3 | 2 | 5 | 3 | — | 2 | 3 | 2 | — | 2 | 3 |
diccionarios y enciclopedias |
---|