Hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es una hipótesis matemática formulada por el matemático alemán Bernhard Riemann en 1859 de que la función zeta de Riemann ( introducida por Euler en 1737 ) toma valores cero solo en números pares negativos : (donde estos ceros simples se llaman funciones zeta de ceros " triviales ", y números complejos con una parte real (ceros " no triviales " de la función zeta de Riemann) $\ estilo de visualización \ zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\puntos$ ${\ estilo de visualización {1 \ sobre 2}}$ . La conjetura de Riemann se refiere a la ubicación de estos ceros no triviales y establece que :

Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real igual a . ${\ estilo de visualización {1 \ sobre 2}}$

Así, si la conjetura es cierta, todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann (cuyo número es infinito ) se encuentran en la recta crítica formada por números complejos , donde es un número real y es una unidad imaginaria . $\nombre del operador {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ ${1 \over 2}+it$ $t$ $i$

El significado especial de la hipótesis de Riemann radica en la (supuesta) relación entre el patrón de la distribución en la línea crítica de ceros no triviales de la función zeta de Riemann y las asintóticas de la distribución de los números primos . Esta pregunta tiene implicaciones tanto para las matemáticas puras (en la teoría de números ) como para las matemáticas aplicadas (por ejemplo, la criptografía ). Aunque no se encontró regularidad en la distribución de números primos entre los naturales , Riemann encontró que el número de números primos que no exceden la función de distribución de números primos se expresa en términos de la distribución de ceros no triviales de la función zeta. La conjetura se convirtió en la base para más pruebas de Hadamard y de la Vallée-Poussin ( 1896 ) del teorema sobre la distribución de números primos . $X$ $\pi(x)$

También se propusieron hipótesis sobre una posible conexión entre las propiedades estadísticas de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann (y por tanto de los números primos) y los fenómenos de la física cuántica , en particular, con el caos cuántico .

La hipótesis de Riemann se considera a menudo como el problema matemático sin resolver más importante [1] [2] [3] . La conjetura en sí, junto con la conjetura de Goldbach , constituye el octavo problema de Hilbert , uno de los pocos problemas de Hilbert no probados a partir de 2021 . Asimismo, la Hipótesis de Riemann es el único de los problemas de Hilbert incluido en el año 2000 en la lista de los siete Problemas del Milenio , por la solución de cada uno de los cuales el Clay Mathematical Institute prometió una recompensa de un millón de dólares estadounidenses. A pesar de muchos intentos (publicados periódicamente) para probar la hipótesis, ninguno de ellos ha sido reconocido por la comunidad científica [4] .

Hay muchos problemas matemáticos probados bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, por lo que probarla o refutarla tendrá implicaciones de gran alcance para la teoría de números, especialmente en la distribución de números primos [5] [6] .

En 2004, se confirmó por métodos numéricos que más de 10 13 (diez billones) primeros ceros no triviales de la función zeta de Riemann satisfacen esta hipótesis, lo cual es un buen argumento a favor de la verdad de esta hipótesis, pero no garantiza eso .

Redacción

La función zeta de Riemann está definida para todos los complejos y tiene ceros en números pares negativos, es decir , tales ceros se llaman triviales. $\zeta (s)$ $s\neq 1$ ${\ estilo de visualización 0 = \ zeta (-2) = \ zeta (-4) = \ zeta (-6) \ puntos}$

De la ecuación funcional y la expresión explícita para , donde es la función de Möbius , se deduce que todos los demás ceros (llamados "no triviales") están ubicados en la franja simétricamente con respecto a la llamada "línea crítica" . $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{{s}}\sin {\pi s \over 2}{\frac 1{\sin \pi s\Gamma (s)))\zeta (1 -s)$ ${\frac{1}{\zeta(s)}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)}{n^{s}}}$ $\nombre del operador {Re}\,s>1$ $\mu(n)$ $0\leqslant\operatorname {Re}\,s\leqslant 1$ ${1 \sobre 2}+it,\;t\in {\mathbb {R}}$

La hipótesis de Riemann

La Hipótesis de Riemann establece que [7] [8] :

" Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real igual a

{\frac{1}{2))

es decir, son números complejos ubicados en la recta . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} s = {\ frac {1} {2}}}$

La hipótesis generalizada de Riemann

La hipótesis de Riemann generalizada es un análogo de la hipótesis de Riemann para generalizaciones de funciones zeta, llamadas funciones L de Dirichlet .

Historia

En 1859, Bernhard Riemann publicó su obra "Sobre el número de primos que no exceden un valor dado" [9] . Como parte de la suposición de que la hipótesis es correcta, Riemann escribió (por conveniencia, trabajando principalmente con la función xi dependiente ) [10] :

... Es muy probable que todos [los ceros de la función xi] sean reales. Sería deseable, por supuesto, tener una prueba rigurosa de este hecho, pero después de varios intentos infructuosos, pospuse la búsqueda de tal prueba, ya que no se requiere para los propósitos inmediatos de mi investigación.

Texto original (alemán)[ mostrarocultar] ... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

Esta declaración de Riemann sobre la función xi es equivalente a una declaración similar (formulada en la hipótesis de Riemann) sobre la función zeta dependiente de ella [8] .

La demostración por Hadamard y Vallée-Poussin en 1896 del teorema de la distribución de los números primos (donde demostraron de forma independiente que los ceros de la función zeta no pueden estar sobre rectas y ) dio un poderoso impulso al desarrollo de la teoría analítica de los números [11 ] . $\nombre del operador {Re}\,s=0$ $\nombre del operador {Re}\,s=1$

En 1900, David Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en la lista de 23 problemas sin resolver como parte del octavo problema, junto con la hipótesis de Goldbach .

En 1914, Hardy demostró que hay infinitos ceros en la línea crítica y más tarde, junto con Littlewood , dio una estimación más baja de la fracción de ceros que se encuentra en la línea crítica, que luego fue mejorada por varios matemáticos.

Algunos ceros no triviales están extremadamente cerca uno del otro. Esta propiedad se conoce como el " fenómeno de Lehmer " [12] .

Titchmarsh y Voros demostraron en 1987 que la función zeta se puede factorizar en un producto a través de sus ceros no triviales en la factorización de Hadamard .

Formulaciones equivalentes

Riemann presentó una formulación equivalente, que establece que todas las raíces de la función xi de Riemann ξ(s) son reales.

En 1901, Helge von Koch demostró que la Hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente enunciado sobre la distribución de números primos:

\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\right)

x\rightarrow\infty.

Algunas formulaciones más equivalentes:

Para todos , la desigualdad $x \ geqslant 2657$ $\left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi } }{\raíz cuadrada {x}}\,\ln x,$

Para todos , la desigualdad se cumple donde ψ ( x ) es la segunda función de Chebyshev , $x\geqslant 73{,}2$ $|\psi(x)-x|<{\frac{1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),$

Para todos , la desigualdad se cumple donde es la suma de los divisores del número y es la constante de Euler-Mascheroni . La desigualdad se rompe para n = 5040 y algunos valores menores (27 excepciones en total), pero Guy Robin en 1984 demostró que se cumple para todos los enteros mayores si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera, y que la secuencia de excepciones a la condición del teorema de Robin infinitamente muchos si la hipótesis de Riemann es incorrecta. También se sabe que el menor de tales números de exclusión n ≥ 5041 debe ser un número superredundante [13] . $n>5040$ $\sigma (n)<e^{\gamma}n\log \log n,$ $\sigma(n)$ $norte$ $\gama$

Para todo , la desigualdad se cumple donde es el -ésimo número armónico [14] . $n>1$ $\sigma(n)<H_{n}+e^{{H_{n}}}\ln H_{n},$ $H_n$ $norte$

Para cualquier desigualdad positiva , donde es la función de Mertens , vea también la notación O es grande . Una hipótesis más fuerte fue refutada en 1985 [15] . $\varepsilon$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})$ $Minnesota)$ ${\ estilo de visualización | M (n) | <{\ sqrt {n))}$

La hipótesis de Riemann es equivalente a la siguiente igualdad: . $\int \limits _{{0}}^{{\infty}}{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \ límites _ {{1/2}}^{{\infty }}\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )} {32}}$

Se demuestra que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si la ecuación integral

\int _{{0}}^{\infty }{\frac {z^{{-\sigma -1}}\phi (z)\,dz}{{e^{{x/z}}}+ 1}}=0

no tiene soluciones no triviales para . $\fi$ $1/2<\sigma<1$

Cuestiones relacionadas

Las dos hipótesis de Hardy-Littlewood

En 1914 , Godfrey Harold Hardy demostró [16] que una función tiene infinitos ceros reales. $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$

Sea el número de ceros reales y el número de ceros impares de la función , que se encuentran en el intervalo . $NUEVO TESTAMENTO)$ $N_{0}(T)$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$ $(0,T]$

Dos hipótesis de Hardy y Littlewood [17] (sobre la distancia entre ceros reales y sobre la densidad de ceros en intervalos lo suficientemente grandes y tan pequeños como sea posible , donde un número arbitrariamente pequeño), determinaron dos direcciones en el estudio de la zeta de Riemann función : $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$ $(T,T+H]$ $T>0$ $H=T^{{a+\varepsilon}}$ $a>0$ $\varepsilon >0$

Para cualquier , existe , tal que para y , el intervalo contiene un cero de orden impar de la función . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}25+\varepsilon}}$ $(T,T+H]$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$
Para cualquiera existe y tal que para y , la desigualdad es verdadera . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0$ $c=c(\varepsilon)>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon}}$ $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH$

La hipótesis de A. Selberg

En 1942, Atle Selberg investigó el problema de Hardy-Littlewood 2 y demostró que para cualquiera existe y , tal que para y . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0$ $c=c(\varepsilon)>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon}}$ $N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T$

Selberg planteó la hipótesis [18] de que es posible reducir el exponente de la cantidad . $a=0{,}5$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon}}$

En 1984, A. A. Karatsuba demostró [19] [20] [21] que para una condición fija , suficientemente grande y , el intervalo contiene al menos ceros reales de la función zeta de Riemann . Así, confirmó la hipótesis de Selberg. $\varepsilon$ $0<\varepsilon <0{,}001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon}}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $cH\lnT$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr)}$

Las estimaciones de Selberg y Karatsuba son inmejorables en orden de crecimiento para . $T\a +\infty$

En 1992, Karatsuba demostró [22] que un análogo de la conjetura de Selberg es válido para “casi todos” los intervalos , , donde es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. El método desarrollado por Karatsuba permite investigar los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos "ultracortos" de la línea crítica, es decir, en intervalos cuya longitud crece más lentamente que cualquier grado, incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado , con la condición, casi todos los intervalos contienen al menos ceros de la función . Esta estimación es muy cercana a la que se deriva de la hipótesis de Riemann. $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon))$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon,\varepsilon_{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon}}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon_{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$

Posible conexión con la mecánica cuántica

Alrededor de principios del siglo XX, el matemático húngaro György Pólya (en 1912-1914), y presumiblemente (pero no con certeza) David Hilbert [23] , formularon la conjetura de Hilbert-Polyi , indicando una posible conexión entre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann y fenómenos de la mecánica cuántica [24] [25] [26] [27] :

Los ceros no triviales de la función zeta de Riemann (sus partes imaginarias) corresponden a los valores propios de algún operador hermitiano ( un operador autoadjunto ilimitado en un espacio de Hilbert ).

Poya sugirió que una forma de derivar la hipótesis de Riemann es encontrar un operador autoadjunto, de cuya existencia se derivará una declaración sobre las partes reales de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. La conjetura de Hilbert-Polyi encuentra cierto apoyo en varios análogos de la función zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a los valores propios de algún operador: los ceros de la función zeta de una variedad sobre un campo finito corresponden a los valores propios de el elemento de Frobenius en el grupo de cohomología étale , los ceros de la función zeta de Selberg son los valores propios del operador de Laplace de la superficie de Riemann , y los ceros de la función zeta p-ádica corresponden a los vectores propios de la acción de Galois sobre los grupos de clases ideales .

En 1973, el matemático estadounidense Hugh Montgomery (después de una conversación en 1972 con Freeman Dyson ) formuló la hipótesis de correlación de pares (no probada, pero confirmada ( Odlyzhko , 1987 ) por cálculos numéricos a gran escala), según la cual la correlación funciones ( el factor de forma para las correlaciones de pares) respectivamente, los ceros normalizados de la función zeta de Riemann deben ser los mismos que los de los valores propios de la matriz hermítica aleatoria gaussiana [28] [29] .

John Derbyshire llama la atención sobre las siguientes similitudes al comparar el comportamiento de los ceros de la función zeta de Riemann y los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria gaussiana [30] :

Ni los ceros de la función zeta de Riemann ni los valores propios de una matriz hermítica aleatoria gaussiana son como puntos dispersos aleatoriamente (diferentes de una dispersión perfectamente aleatoria);
Los ceros de la función zeta y los valores propios de la matriz hermítica se comportan de manera similar;
Tanto para los ceros de la función zeta como para los autovalores de la matriz hermitiana se observa un efecto de repulsión.

Después de aclarar la situación con algunas inconsistencias entre los resultados de Odlyzhko y las predicciones del modelo de conjunto unitario gaussiano (GUA) (Odlyzhko resultó tener intervalos ligeramente más pequeños que en el modelo GUA), la hipótesis de correlación de pares de Montgomery se convirtió (por primera vez en vez en un artículo de Nicholas Katz y Peter Sarnak, 1999 ) "la ley de Montgomery-Odlyzhko" [31] :

La distribución de intervalos entre ceros no triviales sucesivos de la función zeta de Riemann (en la normalización correcta) es estadísticamente idéntica a la distribución de valores propios del operador GUA.

El significado de "normalización" en la "ley de Montgomery-Odlyzhko" es hacer una corrección en forma de estirar la parte superior del intervalo seleccionado multiplicando cada número por su logaritmo (que es necesario para igualar la distancia promedio entre los ceros de la función zeta de Riemann - debido al hecho de que los ceros a medida que ascienden en la línea crítica, se acercan entre sí) [32] .

La pregunta clave que surge en este tipo de investigación, Derbyshire la formula de la siguiente manera [33] :

Los ceros no triviales de la función zeta de Riemann aparecieron en el estudio de la distribución de los números primos. Los valores propios de las matrices hermitianas aleatorias aparecieron en el estudio del comportamiento de los sistemas de partículas subatómicas que obedecen las leyes de la mecánica cuántica. Dígame, por favor, ¿qué pueden tener en común los números primos y el comportamiento de las partículas subatómicas?

En 1986 (incluso antes de la publicación del trabajo de Odlyzhko en 1987), el especialista inglés en el campo del físico matemático Michael Berry en el artículo "The Riemann Zeta Function: A Model of Quantum Chaos ?" estudió la cuestión de la existencia de un operador de Riemann , un operador cuyos valores propios coinciden exactamente con los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Berry asumió que tal operador riemanniano (operador riemanniano) existe, y dentro del marco de esta suposición hizo la siguiente pregunta: ¿qué sistema dinámico puede representar tal operador riemanniano? Su versión era que tal operador riemanniano podría modelar un sistema caótico [34] .

Berry demostró que, en el caso de su existencia, el operador de Riemann debe modelar uno de los llamados. sistemas caóticos semiclásicos (donde un sistema semiclásico se entiende como un sistema en el que un sistema caótico clásico se asocia con otros similares en el mundo cuántico mediante la toma del límite en las ecuaciones de la mecánica cuántica, donde el factor cuántico - la constante de Planck - tiende a cero), donde los valores propios de dicho operador riemanniano son partes imaginarias de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann que son los niveles de energía de este sistema caótico semiclásico. Donde llama la atención que las órbitas periódicas en un sistema caótico clásico similar corresponderían a números primos (sus logaritmos ) [35] .

Según Berry, en tal sistema caótico cuasi-clásico no existiría la propiedad de simetría con respecto a la inversión del tiempo (que es una propiedad de los sistemas caóticos modelados por operadores como los operadores GUA, en contraste con los sistemas caóticos que permiten la inversión del tiempo y modelados por operadores como operadores GOA - un conjunto ortogonal gaussiano ) [35] .

En 1988 Berry [36] , y en 1999 Berry y Jonathan Keating [37] predijeron y describieron en detalle las desviaciones de las estadísticas GUA en las correlaciones entre ceros ampliamente espaciados (anteriormente señalado por Odlyzhko en la varianza numérica de las posiciones de los ceros ), donde resultó que las desviaciones corresponden exactamente a la teoría cuántica , con la excepción de las oscilaciones a pequeña escala , que luego fueron explicadas (1999) por Keating y E. B. Bogomolny [38] Según Berry, esta explicación es “la evidencia más fuerte en favor de la hipótesis de Riemann”, y, además, “coloca al escurridizo operador en la clase de los sistemas cuánticos con caos clásico, y no en la clase de las matrices aleatorias” [39] .

El matemático francés Alain Conne , en lugar de buscar un operador (riemanniano) cuyos valores propios coincidieran con los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, tomó el camino de construir tal operador, para el cual “formó” un adele el espacio como plataforma para el operador riemanniano. Una característica del espacio adélico es que los operadores que actúan sobre él se basan fundamentalmente en números primos. Este enfoque hizo posible construir un operador de Riemann cuyos valores propios son exactamente los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, y donde los números primos están incrustados en el espacio adélico en el que dicho operador actúa de una manera matemática especial, pero que, a su vez, se relaciona con sistemas físicos reales - conjuntos reales de partículas subatómicas [40] .

Para probar la hipótesis de Riemann en el marco del enfoque de Connes, es necesario probar cierta fórmula de seguimiento , una fórmula del tipo de la fórmula de Gutzwiller (que conecta los valores propios del operador de Riemann que actúa en el espacio adele con órbitas periódicas en el sistema clásico analógico) [41] .

Uno de los temas más importantes en la teoría del caos cuántico es establecer una correspondencia entre la distribución de valores propios del operador hamiltoniano , que define la dinámica clásica, y las órbitas periódicas inestables clásicas, donde esta correspondencia viene dada por las fórmulas de las trazas de Selberg. y Gutzwiller [26] .

En 1999, Berry y Keating sugirieron que existe una cuantización desconocida del hamiltoniano clásico H = xp tal que $\ que H$

\zeta (1/2+i{\sombrero {H)))=0

y aún más fuertemente, los ceros riemannianos coinciden con el espectro del operador . Esto contradice la cuantización canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg y a los números naturales como el espectro de un oscilador armónico cuántico . El punto importante es que el hamiltoniano debe ser un operador autoadjunto para que la cuantización sea una realización de la hipótesis de Hilbert-Polyi. En relación con este problema de la mecánica cuántica, Berry y Alain Connes sugirieron que el potencial recíproco del hamiltoniano está relacionado con la semiderivada de la función $1/2+i{\sombrero {H}}$ ${\ estilo de visualización [x, p] = 1/2}$

N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})

donde entonces, en el enfoque de Berry-Conn [42] ,

{\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2))))

Esto da un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros riemannianos, y además que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es la función xi de Riemann . De hecho, la función xi de Riemann sería proporcional al determinante funcional (producto de Hadamard)

{\ estilo de visualización \ det (H + 1/4 + s (s-1))}

donde, como lo demostraron Conn y otros, en este enfoque

{\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1 /cuatro)}}.

En 2017, Carl Bender, Dorge Brody y Markus Müller determinaron las condiciones de cuantización para el hamiltoniano de Berry-Keating [43] , pero el hamiltoniano resultante obviamente no corresponde a ningún sistema físico [44] .

Consideraciones sobre la verdad o falsedad de una hipótesis

Los artículos de revisión ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 , Sarnak 2008 ) señalan que la evidencia a favor de la hipótesis de Riemann es fuerte, pero deja espacio para una duda razonable. Algunos autores, sin embargo, están convencidos de la falsedad de la hipótesis (en particular, John Littlewood así lo creía ).

Entre los datos que nos permiten asumir la verdad de la conjetura, se puede destacar la demostración exitosa de conjeturas similares (en particular, la conjetura de Riemann sobre variedades sobre campos finitos [45] ). Este es el argumento teórico más sólido que sugiere que la condición de Riemann se cumple para todas las funciones zeta asociadas con aplicaciones automórficas., que incluye la hipótesis clásica de Riemann. La verdad de una conjetura similar ya ha sido probada [46] para la función zeta de Selberg, en algunos aspectos similar a la función de Riemann, y para la función zeta de Goss(un análogo de la función zeta de Riemann para campos de funciones).

Por otro lado, algunas de las funciones zeta de Epsteinno satisfacen la condición de Riemann, aunque tienen un número infinito de ceros en la línea crítica. Sin embargo, estas funciones no se expresan en términos de series de Euler y no están directamente relacionadas con aplicaciones automórficas.

Los argumentos "prácticos" a favor de la verdad de la hipótesis de Riemann incluyen la verificación computacional de un gran número de ceros no triviales de la función zeta en el marco del proyecto ZetaGrid . En 2004, Yannick Sauter y Patrick Demichel verificaron numéricamente que más de 10 13 (más de diez billones) primeros ceros no triviales de la función zeta de Riemann satisfacen esta hipótesis, lo cual es un buen argumento a favor de que la hipótesis es cierta, pero no no lo garantiza [47] [ 48] . Sin embargo, la verificación computacional de un número arbitrariamente grande de ceros no triviales no se acerca en absoluto a la prueba real. Por ejemplo, durante mucho tiempo la conjetura de Mertens también se mostró muy prometedora por ser cierta, superando todo tipo de pruebas computacionales, pero luego resultó ser refutada. Este es un excelente ejemplo de una prueba matemática que contradice una gran cantidad de evidencia computacional a favor de una hipótesis.

Hechos

Es famosa la respuesta de Gilbert a la pregunta de cuáles serán sus acciones si por alguna razón duerme quinientos años y de repente se despierta. El matemático respondió que lo primero que preguntaría sería si se había probado la hipótesis de Riemann.
La hipótesis de Riemann hace referencia a los famosos problemas abiertos de las matemáticas , que en su momento incluían el teorema de Fermat . Como saben, Fermat dejó constancia de que probó su teorema sin dejar la prueba en sí misma y, por lo tanto, desafió a las siguientes generaciones de matemáticos. El matemático británico G. H. Hardy utilizó la situación con estos problemas para garantizar su propia seguridad durante los viajes por mar. Cada vez que antes de irse de viaje, enviaba un telegrama a uno de sus colegas: “Probó la hipótesis de Riemann. Detalles a la vuelta. Hardy creía que Dios no permitiría una repetición de la situación con el teorema de Fermat y le permitiría regresar a salvo del viaje [49] .

Véase también

problemas matematicos abiertos

Notas

↑ Derbyshire, 2010 , Introducción, pág. 14-15.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 9. Patrones de números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 236, 252-253.
↑ Bombieri, Enrico . La hipótesis de Riemann: descripción oficial del problema (inglés) . — Instituto Clay de Matemáticas . — 2000.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 9. Patrones de números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 250.
↑ Derbyshire, 2010 , Capítulo 18. La teoría de números se encuentra con la mecánica cuántica, p. 349-350. capitulo 22 423.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 2. Territorio de números primos. El problema de Goldbach, pág. 64-66. Capítulo 9 La hipótesis de Riemann, pág. 238-239.
↑ Derbyshire, 2010 , Introducción, pág. 15. Capítulo 5. Función Zeta de Riemann, pág. 105.
↑ 1 2 Stuart, 2015 , Capítulo 9. Regularidades de los números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 236.
↑ Bernhard Riemann . Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (alemán) // Monatsberichte der Berliner Akademie. - 1859. Archivado el 17 de junio de 2009.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 9. Patrones de números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 235-236.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 9. Patrones de números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 237-238.
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↑ Trushechkin A. S. , Reportaje en video (2013) sobre los temas: axiomas de la mecánica cuántica, el milagro de la interferencia cuántica, probabilidad cuántica, el grupo de Heisenberg-Weyl, integrales de trayectoria de Feynman, teletransportación cuántica, caos cuántico y la función zeta de Riemann.
↑ Derbyshire, 2010 , Capítulo 18. La teoría de números se encuentra con la mecánica cuántica, p. 345-350.
↑ Stewart, 2015 , Capítulo 9. Patrones de números primos. La hipótesis de Riemann, pág. 251.
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Enlaces

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