Estado periódico

Un estado periódico es un estado de una cadena de Markov que la cadena visita solo en intervalos de tiempo que son múltiplos de un número fijo.

Período estatal

Sea dada una cadena de Markov homogénea en tiempo discreto con matriz de probabilidad de transición . En particular, para any , la matriz es la matriz de probabilidades de transición por pasos. Consideremos una secuencia . Número ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0))$ $PAGS$ $n\en \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $norte$ $p_{jj}^{(n)},\,n\en \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

donde denota el máximo común divisor , se denomina período de estado . ${\ estilo de visualización \ gcd}$ $j$

Nota

Así, el período del estado es , si del hecho de que , se sigue que es divisible por . $j$ ${\ estilo de visualización d (j)}$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $norte$ ${\ estilo de visualización d (j)}$

Estados y cadenas periódicas

Si , entonces el estado se llama periódico . Si , entonces el estado se llama aperiódico . ${\ estilo de visualización d (j)> 1}$ $j$ ${\ estilo de visualización d (j) = 1}$ $j$

Los periodos de los estados comunicantes coinciden:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Así, el período de cualquier clase indescomponible de la cadena de Markov es definido e igual al período de cualquiera de sus representantes. En consecuencia, las clases se dividen en periódicas y aperiódicas.

Si una cadena de Markov es indescomponible, entonces los periodos de todos sus estados coinciden y el valor común que toman se denomina periodo de la cadena. Una cadena se llama periódica si su período es mayor que uno, y aperiódica en caso contrario.

Clasificación de estados y cadenas de Markov
Estado	aperiódico retornable realizable irrevocable insignificante cero periódico positivo comunicado importante
Cadena	aperiódico retornable irrevocable indescomponible cero periódico positivo descomponible ergódico