Decimal

Un decimal es un tipo de fracción que es una forma de representar números reales en la forma

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

dónde

\pm

- signo de fracción : ya sea , o ,

+

-

,

- punto decimal , que sirve como separador entre las partes enteras y fraccionarias del número ( estándar de los países de la CEI ) [1] ,

d_{k}

- dígitos decimales . Además, la secuencia de dígitos antes de la coma (a la izquierda) es finita (al menos un dígito), y después de la coma (a la derecha) puede ser finita (en particular, los dígitos después de la coma puede estar ausente por completo) o infinito.

Ejemplos:

$123{,}45$ (final decimal)
Representar un número $\Pi$ como un decimal infinito: $3{,}1415926535897...$

El valor del decimal es un número real . $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

igual a la suma de un número finito o infinito de términos.

Representar números reales usando decimales es una generalización de escribir números enteros en notación decimal . La representación decimal de un número entero carece de dígitos después del punto decimal y, por lo tanto, la representación es

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

que coincide con la notación de este número en el sistema numérico decimal.

Decimales finitos e infinitos

Fracciones finitas

Un decimal se llama finito si contiene un número finito de dígitos después del punto decimal (en particular, ninguno), es decir, tiene la forma

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Por definición, esta fracción representa un número

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Es fácil ver que este número se puede representar como una fracción ordinaria de la forma , cuyo denominador es una potencia de diez. Por el contrario, cualquier número de la forma , donde es un número entero y es un número entero no negativo, se puede escribir como una fracción decimal finita. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $pags$ $s$

Si una fracción ordinaria se reduce a una forma irreducible, su denominador se verá como . Por lo tanto, se cumple el siguiente teorema sobre la representabilidad de los números reales como fracciones decimales finitas. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Teorema. Un número real se puede representar como una fracción decimal finita si y sólo si es racional y cuando se escribe como una fracción irreducible , el denominador no tiene divisores primos aparte de y . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Fracciones infinitas

Decimales infinitos

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

representa, por definición, un número real

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Esta serie converge , cualquiera que sean los dígitos enteros y decimales no negativos . Esta proposición se sigue del hecho de que la secuencia de sus sumas parciales (si se elimina el signo de la fracción) está acotada superiormente por un número (ver el criterio para la convergencia de series con signos positivos ). $un_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Representación de números reales como decimales

Así, cualquier fracción decimal finita o infinita representa algún número real bien definido. Quedan las siguientes preguntas:

¿Se puede representar cualquier número real como un decimal?
¿Es esta la única representación?
¿Cuál es el algoritmo para descomponer un número en un decimal?

Estos problemas se destacan a continuación.

Algoritmo para convertir un número en una fracción decimal

El algoritmo para construir una fracción decimal, que es su representación, se describe a continuación. $\alfa$

Consideremos primero el caso . Divide toda la recta numérica por puntos enteros en segmentos de longitud unitaria. Considere el segmento que contiene el punto ; en el caso especial cuando el punto es el final de dos segmentos adyacentes, elegimos el segmento correcto como . $\alpha \geqslant 0$ $yo_0$ $\alfa$ $\alfa$ $yo_0$

Si denotamos un número entero no negativo, que es el extremo izquierdo del segmento , a través de, entonces podemos escribir: $yo_0$ $un_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

En el siguiente paso, dividimos el segmento en diez partes iguales con puntos $yo_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots,9

y considerad la de los segmentos de longitud sobre los que se encuentra el punto ; en el caso de que este punto sea el final de dos segmentos adyacentes, nuevamente elegimos el correcto de estos dos segmentos . $1/10$ $\alfa$

Llamemos a este segmento . Parece que: $yo_1$

I_{1}=\izquierda[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\Correcto]

Continuaremos de manera similar el proceso de refinar la recta numérica y refinar sucesivamente la posición del punto . $\alfa$

En el paso siguiente, teniendo un segmento que contiene el punto , lo dividimos en diez segmentos iguales y elegimos de ellos el segmento en el que se encuentra el punto ; en el caso de que este punto sea el final de dos segmentos adyacentes, elegimos el correcto de estos dos segmentos . $En 1}}$ $\alfa$ $En}}$ $\alfa$

Continuando con este proceso, obtenemos una secuencia de segmentos de la forma $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac{1}{10^{n}}}\right]

donde es un entero no negativo y son enteros que satisfacen la desigualdad . $un_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

La secuencia construida de segmentos tiene las siguientes propiedades: $I_{0},I_{1},\ldots$

Los segmentos se anidan secuencialmente entre sí: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Longitud de los segmentos $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
El punto pertenece a todos los segmentos de la secuencia. $\alfa$

De estas condiciones se sigue que existe un sistema de segmentos anidados , cuyas longitudes tienden a cero como , y el punto es un punto común de todos los segmentos del sistema. Esto implica que la secuencia de extremos izquierdos de los segmentos converge en un punto (una afirmación análoga también es válida para la secuencia de extremos derechos), es decir $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\to\infty$ $\alfa$ $\alfa$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha

n\to\infty

Esto significa que la fila

\sum _{{k=0}}^{{\infty}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

converge a , y por lo tanto el decimal $\alfa$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

es una representación de un número . Por lo tanto, se encuentra la expansión de un número no negativo en una fracción decimal. $\alfa$ $\alfa$

La fracción decimal resultante es infinita por construcción. En este caso, puede resultar que a partir de cierto número, todos los decimales después del punto decimal sean ceros, es decir, la fracción tiene la forma

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Es fácil ver que esta posibilidad se da en el caso de que en algún paso el punto coincida con uno de los puntos de división de la línea real. En este caso, desechar en total $\alfa$

\sum _{{k=0}}^{{\infty}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

términos cero, obtenemos que el número también puede ser representado por una fracción decimal finita $\alfa$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

En general, está claro que al agregar cualquier número de ceros (incluido el infinito) al final de la fracción decimal después del punto decimal, no cambiamos el valor de la fracción. Así, en este caso, el número se puede representar tanto por una fracción decimal finita como por una infinita (obtenida a partir de la primera asignando un número infinito de ceros). $\alfa$

Así, el caso de los no negativos . En el caso de negativo , como representación decimal de este número, se puede tomar la representación de su opuesto positivo , tomado con signo menos. $\alfa$ $\alfa$

El algoritmo anterior ofrece una manera de expandir un número real arbitrario en una fracción decimal. Esto prueba lo siguiente

Teorema. Cualquier número real se puede representar como un decimal.

Sobre el papel del axioma de Arquímedes

El algoritmo dado para descomponer un número real en una fracción decimal se basa esencialmente en una propiedad del sistema de números reales llamada axioma de Arquímedes .

Esta propiedad se usó dos veces en el algoritmo. Al comienzo de la construcción, se eligió un número entero tal que el número real esté entre y el siguiente número entero : $un_{0}$ $\alfa$ $un_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z))

Sin embargo, aún debe probarse la existencia de tal número entero : no se puede excluir, por ejemplo, la posibilidad de que, sea cual sea el número entero , la desigualdad siempre se cumple . Si se hubiera dado este caso, entonces, obviamente, no se habría encontrado el número requerido. $un_{0}$ $norte$ $n\leqslant\alfa$ $un_{0}$

Esta posibilidad está precisamente excluida por el axioma de Arquímedes, según el cual, cualquiera que sea el número , siempre hay un número entero tal que . Ahora entre los números tomamos el más pequeño que tiene la propiedad . Después $\alfa$ $norte$ $n>\alfa$ $k=1,\lpuntos,n$ $k>\alfa$

k-1\leqslant \alpha<k

Se encuentra el número deseado: . $a_{0}=k-1$

La segunda vez se utilizó implícitamente el axioma de Arquímedes en la prueba de la tendencia a cero de las longitudes de los segmentos de la sucesión : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty}}10^{{-n}}=0

Una prueba rigurosa de esta proposición se basa en el axioma de Arquímedes. Probemos la relación equivalente

\lim _{{n\to \infty}}10^{{n}}=\infty

De acuerdo con el axioma de Arquímedes, cualquiera que sea el número real , la secuencia de los números naturales lo superará, a partir de algún número. Y como para todos hay una desigualdad $E>0$ $1,2,\ldots$ $norte$

10^{n}>n

entonces la secuencia también superará a , a partir del mismo número. De acuerdo con la definición del límite de una sucesión numérica, esto significa que . $10^{n}$ $mi$ $\lim _{{n\to \infty}}10^{{n}}=\infty$

Ambigüedad de la representación decimal

Con la ayuda del algoritmo anterior, para cualquier número real, podemos construir una fracción decimal que represente este número. Sin embargo, puede ocurrir que el mismo número se pueda representar como un decimal de otra forma. $\alfa$ $\alfa$

La no unicidad de la representación de números en forma de fracciones decimales se deriva ya del hecho trivial de que asignando ceros a la derecha después del punto decimal a la fracción final, obtendremos fracciones decimales formalmente diferentes que representan el mismo número.

Sin embargo, incluso si consideramos idénticas las fracciones obtenidas asignando un número finito o infinito de ceros entre sí, la representación de algunos números reales sigue siendo no única.

Consideremos, por ejemplo, el decimal

0{,}99\l puntos

Por definición, esta fracción es una representación de un número . Sin embargo, este número también se puede representar como un decimal . En efecto, los números reales son diferentes si y sólo si entre ellos puede intercalarse un número real más, que no coincida consigo mismos , pero entre y no puede intercalarse ningún tercer número . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\l puntos$ $a, b$ ${\ estilo de visualización a, b.}$ $0{,}99\l puntos$ $1{,}00\l puntos$

Este ejemplo se puede generalizar. Se puede demostrar que las fracciones

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

donde , representan el mismo número real. $a_{n}\neq 9$

Resulta que este ejemplo general agota todos los casos de ambigüedad en la representación de números reales como fracciones decimales. Al mismo tiempo, por supuesto, no consideramos los casos triviales de fracciones obtenidas asignándose ceros entre sí al final, así como un par de fracciones y . $+ 0{,}00 \ldots$ $- 0{,}00 \ldots$

Estos resultados se pueden resumir en el siguiente teorema.

Teorema. Cualquier número real que no sea representable en la forma , donde es un número entero, es un número entero no negativo, admite una única representación en forma de fracción decimal; esta fracción es infinita. $\alfa$ $p/10^{s}$ $pags$ $s$

Cualquier número real de la forma se puede representar como un decimal en más de una forma. Si , entonces se puede representar tanto como una fracción decimal finita, como una fracción infinita obtenida asignando ceros al final después del punto decimal, y como una fracción infinita que termina en . Un número puede ser representado por fracciones de la forma , así como fracciones de la forma . $\alfa =p/10^{s}$ $\alfa \neq 0$ $999\ldots$ $\ alfa = 0$ $+0{,}00 \ldots$ $-0{,}00 \ldots$

Comentario. Las fracciones infinitas que terminan en se obtienen eligiendo siempre el segmento izquierdo en lugar del derecho en el algoritmo anterior. $999\ldots$

Ceros extra y error

Cabe señalar que, desde el punto de vista de los cálculos aproximados, escribir una fracción decimal con ceros al final no es exactamente igual a escribir sin estos ceros.

Generalmente se acepta que si no se indica el error , entonces el error absoluto de la fracción decimal es igual a la mitad de la unidad del último dígito descargado, es decir el número se obtiene de acuerdo con las reglas de redondeo [2] . Por ejemplo, la entrada "3,7" significa que el error absoluto es 0,05. Y en la entrada "3.700" el error absoluto es 0.0005. Otros ejemplos:

"25": el error absoluto es 0,5 (también dicho registro puede significar el valor exacto de 25: por ejemplo, 25 piezas);
"2.50∙10⁴" - el error absoluto es 50;
"25,00": el error absoluto es 0,005.

Decimales periódicos

Definición y propiedades

Una fracción decimal infinita se llama periódica si su secuencia de dígitos después del punto decimal, comenzando desde algún lugar, es un grupo de dígitos que se repite periódicamente. En otras palabras, una fracción periódica es una fracción decimal que se parece a

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

Tal fracción generalmente se escribe en la forma

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

El grupo de dígitos que se repite se llama período de la fracción, el número de dígitos en este grupo es la longitud del período. $b_{1}\ldots b_{l}$

Si en una fracción periódica el período sigue inmediatamente al punto decimal, entonces la fracción se llama periódica pura . Si hay números entre el punto decimal y el primer punto, la fracción se llama periódico mixto , y el grupo de números después del punto decimal hasta el primer signo del período se llama pre -período de la fracción. Por ejemplo, una fracción es periódica pura, mientras que una fracción es periódica mixta. $1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$

La principal propiedad de las fracciones periódicas, por la que se distinguen de todo el conjunto de fracciones decimales, es que las fracciones periódicas y solo ellas representan números racionales . Más precisamente, se cumple la siguiente proposición.

Teorema. Cualquier fracción decimal periódica infinita representa un número racional. Por el contrario, si un número racional se expande a una fracción decimal infinita, entonces esta fracción es periódica.

Se puede demostrar que las fracciones puramente periódicas corresponden a los números racionales, en los que el denominador no tiene divisores primos y , así como a los números racionales , en los que el denominador solo tiene divisores primos y . En consecuencia, las fracciones periódicas mixtas corresponden a fracciones irreducibles , cuyo denominador tiene divisores simples o , y diferentes de ellos. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Conversión de un decimal periódico a una fracción común

Supongamos que se da una fracción decimal periódica con un período de 4. Tenga en cuenta que al multiplicarla por , obtenemos una fracción grande con los mismos dígitos después del punto decimal. Restando la parte entera ( ), por la que aumentó la fracción después de su multiplicación, obtenemos la fracción original ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10000$ $10000x=1998{,}(1998)$ ${\ estilo de visualización 1998}$ $X$
${\ estilo de visualización 10000x-1998 = x}$
$\Flecha correcta$
${\ estilo de visualización 10000x-x = 1998}$
$\Flecha correcta$
$x={\frac{1998}{9999}}={\frac{222}{1111}}$

Pronunciación de decimales

En ruso, las fracciones decimales se leen así: primero se pronuncia la parte entera, luego la palabra "entero" (o "entero"), luego la parte fraccionaria como si el número entero consistiera solo en esta parte, es decir, el numerador de la fracción es un número femenino cuantitativo (uno, dos, ocho, etc.), y el denominador es un número ordinal (décimo, centésimo, milésimo, diezmilésimo, etc.).

Por ejemplo: 5,45 - cinco enteros, cuarenta y cinco centésimas.

Para números más largos, a veces la parte decimal se descompone en potencias de mil . Por ejemplo: 0.123 456 - punto cero, ciento veintitrés milésimas, cuatrocientas cincuenta y seis millonésimas.

Sin embargo, en la práctica, a menudo como más racional, prevalece tal pronunciación: la parte entera, la unión “y” (a menudo omitida), la parte fraccionaria.

Por ejemplo: 5.45 - cinco y cuarenta y cinco; (cinco cuarenta y cinco).

Para decimales periódicos, diga la parte del número antes del punto (expresado como un número entero en el caso de una fracción periódica pura, o como un decimal final en el caso de una fracción periódica mixta), y luego agregue el número en el período . Por ejemplo: 0.1(23) - cero enteros, un décimo y veintitrés en el período; 2,(6) son dos enteros y seis en el período.

Historia

Las fracciones decimales se encuentran por primera vez en China alrededor del siglo III d.C. mi. al calcular en el tablero de conteo ( suanpan ). En las fuentes escritas, las fracciones decimales se representaron en el formato tradicional (no posicional) durante algún tiempo, pero gradualmente el sistema posicional reemplazó al tradicional [4] .

El matemático y astrónomo timúrida Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) en su tratado "La clave de la aritmética" se declaró inventor de las fracciones decimales, aunque se encontraron en las obras de Al-Uklidisi , que vivió 5 siglos antes [5] .

En Europa, las fracciones decimales se escribieron originalmente como números enteros en alguna escala acordada; por ejemplo, las tablas trigonométricas de Regiomontanus (1467) contenían valores aumentados en un factor de 100.000 y luego redondeados al entero más cercano. Las primeras fracciones decimales en Europa fueron introducidas por Immanuel Bonfils alrededor de 1350, en 1579 Viet intentó promover su uso . Pero se generalizaron solo después de la aparición de la obra de Simon Stevin "The Tenth" (1585) [6] .

Véase también

Notas

↑ El signo de coma " " - coma decimal - como separador de las partes enteras y fraccionarias de una fracción decimal se adopta en Rusia, países europeos (excepto Gran Bretaña e Irlanda) y muchos otros países en los que tuvieron una influencia cultural. En los países de habla inglesa y en los países en los que tuvieron influencia, el signo de punto " " se usa para esto: un punto decimal ( punto decimal en inglés ), y el signo de coma se usa para agrupar los dígitos de la parte entera del número por para esto se utilizan tres lugares decimales (el llamado separador de grupos de dígitos , en Rusia, el carácter de espacio sin separación ""). Por ejemplo, una fracción en notación decimal en el estándar ruso se verá así: , y en el estándar inglés así: . Vea Separador decimal para más detalles . $,$ $.$ ${\ fracción {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333,333.333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - M. : Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1954. - 412 p.
↑ Enciclopedia para niños . - M. : Avanta+, 2001. - T. 11. Matemáticas. — ISBN 5-8483-0015-1 . , página 179
↑ Jean-Claude Martzloff . Una historia de las matemáticas chinas. Saltador. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matemáticas en el Islam medieval // Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - página 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M. : Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 págs. — (Literatura científica y biográfica).