Un bucle en un espacio topológico X es una aplicación continua f del segmento unitario I = [0,1] en X tal que f (0) = f (1). En otras palabras, es un camino cuyo punto inicial es el mismo que el punto final [1] .
El ciclo también se puede ver como un mapeo continuo f del círculo unitario S 1 a X , ya que S 1 se puede considerar el espacio cociente de I identificando 0 con 1.
Sea X un espacio topológico, x 0 ∈ X . Un mapeo continuo l : S 1 → X tal que l(1) = x 0 se llama bucle circular en x 0 [2] . Cada lazo circular en el punto x 0 se puede asociar con un lazo en el espacio X en el mismo punto tomando la composición l con el mapeo I → S 1 dado por la fórmula t →e 2πit . Cualquier lazo se puede obtener de un lazo circular de esta manera.
Los bucles circulares se denominan homotópicos (o equivalentes ) si son {1}-homotópicos (es decir, si la homotopía entre ellos está conectada en un punto 1 ∈ S 1 ). Las clases de equivalencia correspondientes se denominan clases de bucle de homotopía.
Un espacio topológico no vacío se llama simplemente conectado si está conectado por caminos y cada bucle en él es homotópico a un bucle constante [2] .
El conjunto de clases de homotopía de bucles en un punto forma un grupo con la operación de composición de ruta. Este grupo se llama grupo fundamental del espacio X en el punto marcado x 0 .
El conjunto de todos los bucles en X forma un espacio llamado espacio de bucle de X [1] .