Densidad de empaquetamiento

La densidad de empaquetamiento en algún espacio es la fracción de espacio lleno de cuerpos empaquetados (cifras). En los problemas de empaquetamiento , el objetivo suele ser obtener un empaque con la mayor densidad posible.

En espacios compactos

Si K 1 ,…, K n son subconjuntos medibles de X compactos en el espacio de medida y sus conjuntos de puntos interiores son disjuntos por pares, entonces la colección { K i } es un empaquetamiento en X y la densidad de este empaquetamiento es igual a

.

En el espacio euclidiano

Si el espacio a empaquetar es infinito, como el espacio euclidiano , la densidad se define tradicionalmente como el límite de las densidades obtenidas al empaquetar bolas cada vez más grandes. Si B t es una bola de radio t centrada en el origen, entonces la densidad de empaquetamiento { K i  : i ∈ℕ} es igual a

.

Dado que tal límite no siempre existe, es útil definir las densidades superior e inferior como límites superior e inferior. Si la densidad existe, las densidades superior e inferior son las mismas. Si se asegura que cualquier bola en el espacio euclidiano intersecta solo un número finito de elementos de relleno y si los diámetros de los elementos están acotados desde arriba, las densidades superior e inferior no dependen de la elección del origen y μ ( K i ∩ B t ) se puede reemplazar por μ ( K i ) para cualquier elemento que se cruce con B t [1] . Las bolas pueden ser reemplazadas por homotecias de algún otro cuerpo convexo, pero, en general, las densidades resultantes pueden diferir.

Densidad de empaque óptima

A menudo, el embalaje se considera con una restricción en el uso de elementos de un determinado conjunto de elementos. Por ejemplo, un conjunto de elementos puede consistir en bolas de cierto radio. La densidad de empaquetamiento óptima o la constante de empaquetamiento asociada con una colección es un límite superior exacto de las densidades superiores obtenidas por un empaque que contiene una subcolección del conjunto de elementos a partir del cual se crea el empaque. Si una colección dada de elementos a empaquetar consiste en cuerpos convexos de diámetro limitado, hay un empaque cuya densidad es igual a la constante de empaque, y esta constante de empaque no cambia si las bolas en la definición de densidad se reemplazan por homotecias de algunos otro cuerpo convexo [1] .

Todos los movimientos euclidianos un cuerpo fijo convexo K son de interés . En este caso, la constante de empaquetamiento se denomina constante de empaquetamiento del cuerpo K. La conjetura de Kepler se refiere a la constante de empaquetamiento de bolas tridimensionales. La conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que las esferas 3D tienen la constante de empaquetamiento más pequeña en comparación con otros cuerpos convexos. Todas las traslaciones paralelas de un cuerpo fijo también son de interés, y para ellas se introduce la constante de empaquetamiento de la traslación paralela del cuerpo.

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Groemer, 1986 , pág. 183.

Literatura

Enlaces