Función plurisubarmónica
Una función plurisubarmónica es una función de valores reales , de variables complejas en un dominio
de espacio complejo , que satisface las siguientes condiciones:
![{\displaystyle u=u({\vec {z)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df615c7eaf4b5b9237dffb1e6723711fde7a281c)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![{\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258)
![n\geqslant 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4988f75f48013d159669b6725b19df177ff8a01)
es superior semicontinua en todas partes en ;![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
es una función subarmónica de la variable en cada componente conexa del conjunto abierto para cualquier punto fijo , .![{\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c)
![{\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70755b2fac680ccbd139529c75f56d2221798fd0)
![{\ estilo de visualización z_ {0} \ en D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c8324f161822442c1e5c058ec4d19888f9d3f6)
![{\displaystyle a\en \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5c0edb5aba6aa3bcd5ae2e72001eebe7973bd3)
Ejemplos
, para , donde es una función holomorfa en .
![{\displaystyle |f(z)|^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cbf6c126d1b4df79973dc5d5f60381ecfce6c2)
![p\geqslant 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4711a74574413b9dda46fd6adfbc7a25a270b40)
![f(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dd568d570b390c337c0a911f0a1c5c214e8240)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
Definiciones relacionadas
Una función se llama función plurisuperarmónica si existe una función plurisubarmónica.
![v(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b24d1daefdf8f5e1b35292032a3bf64968c0)
![{\ estilo de visualización -v (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ed851d38b6627e22a0944f010f5b449bea222d)
Propiedades
Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas, pero lo contrario no es cierto para .
![n>1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64)
Además de las propiedades generales de las funciones subarmónicas, lo siguiente es cierto para las funciones plurisubarmónicas:
es una función plurisubarmónica en el dominio si y sólo si es una función plurisubarmónica en la vecindad de cada punto ;![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![tu(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbd250e62d7bc323b96b0719e29be7f227beb1)
![{\ estilo de visualización z \ en D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c9016b90a20d376dbafef2db16f8dfc177a489)
- una combinación lineal de funciones plurisubarmónicas con coeficientes positivos es una función plurisubarmónica;
- los límites de una secuencia uniformemente convergente y monótonamente decreciente de funciones plurisubarmónicas son plurisubarmónicos;
- para cualquier valor medio puntual
![{\ estilo de visualización z_ {0} \ en D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c8324f161822442c1e5c058ec4d19888f9d3f6)
sobre una esfera de radio , es una función creciente sobre , convexa con respecto al intervalo , si la bola se encuentra en ;
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![{\ estilo de visualización \ ln r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50e7ced87dd3836226833e0ce3de84ae5e95cb5)
![{\displaystyle B_{R}(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593aaeaaeb6bfd6f3e29842146473373d578867d)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
- bajo mapeos holomorfos , la función plurisubarmónica se vuelve plurisubarmónica;
- si es una función plurisubarmónica continua en el dominio , es un subconjunto analítico conexo cerrado y la restricción alcanza su máximo en , luego en .
![tu(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbd250e62d7bc323b96b0719e29be7f227beb1)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\displaystyle tu|_{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965116f01f81da67c68045a56c7a63305d0c67a1)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\displaystyle u(z)=\mathrm {const} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904cc71d7c51fb44d14b80ee59ffc3d714aa4e0e)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Véase también
Literatura
- Shabat BV Introducción al análisis complejo. En 2 tomos. — M.: Nauka, 1976. — 720 p.
- Fuchs BA Capítulos especiales de la teoría de funciones analíticas de varias variables complejas. - Moscú: Editorial estatal de literatura física y matemática, 1963. - 428 p.