Función plurisubarmónica

Una función plurisubarmónica es una función de valores reales , de variables complejas en un dominio de espacio complejo , que satisface las siguientes condiciones: $u=u({\vec {z)))$ $norte$ ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots,\;z_{n})$ $D$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$ $n\geqslant 1$

$tu(z)$ es superior semicontinua en todas partes en ; $D$
$u(z_{0}+\lambda a)$ es una función subarmónica de la variable en cada componente conexa del conjunto abierto para cualquier punto fijo , . ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {C}}$ ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))$ ${\ estilo de visualización z_ {0} \ en D}$ $a\en \mathbb {C} ^{n}$

Ejemplos

${\ estilo de visualización \ ln | f (z) |}$ , para , donde es una función holomorfa en . ${\displaystyle |f(z)|^{p))$ $p\geqslant 0$ $f(z)$ $D$

Definiciones relacionadas

Una función se llama función plurisuperarmónica si existe una función plurisubarmónica. $v(z)$ ${\ estilo de visualización -v (z)}$

Propiedades

Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas, pero lo contrario no es cierto para . $n>1$

Además de las propiedades generales de las funciones subarmónicas, lo siguiente es cierto para las funciones plurisubarmónicas:

$tu(z)$ es una función plurisubarmónica en el dominio si y sólo si es una función plurisubarmónica en la vecindad de cada punto ; $D$ $tu(z)$ ${\ estilo de visualización z \ en D}$
una combinación lineal de funciones plurisubarmónicas con coeficientes positivos es una función plurisubarmónica;
los límites de una secuencia uniformemente convergente y monótonamente decreciente de funciones plurisubarmónicas son plurisubarmónicos;
para cualquier valor medio puntual ${\ estilo de visualización z_ {0} \ en D}$

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

sobre una esfera de radio , es una función creciente sobre , convexa con respecto al intervalo , si la bola se encuentra en ; $r$ $r$ ${\ estilo de visualización \ ln r}$ ${\ estilo de visualización 0<r<R}$ $B_{R}(z_{0})$ $D$

bajo mapeos holomorfos , la función plurisubarmónica se vuelve plurisubarmónica;
si es una función plurisubarmónica continua en el dominio , es un subconjunto analítico conexo cerrado y la restricción alcanza su máximo en , luego en . $tu(z)$ $D$ $mi$ $D$ $tu|_{E}$ $mi$ $u(z)=\mathrm {const}$ $mi$

Véase también

función pluriarmónica

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. En 2 tomos. — M.: Nauka, 1976. — 720 p.
Fuchs BA Capítulos especiales de la teoría de funciones analíticas de varias variables complejas. - Moscú: Editorial estatal de literatura física y matemática, 1963. - 428 p.