Superficie de Pontryagin

Las superficies de Pontryagin son una cierta secuencia de continuos bidimensionales (en el sentido de la dimensión de Lebesgue ) "dimensionalmente inferiores" . Es decir , tales que su dimensión homológica módulo . ${\ estilo de visualización \ Pi _ {m}}$ ${\ estilo de visualización m = 2,3, ..}$ $una$

Propiedades

Las superficies de Pontryagin están incrustadas en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones.
$\operatorname {dim} \,\Pi _{m}\times \Pi _{k}=3<\operatorname {dim} \,\Pi _{m}+\operatorname {dim} \,\Pi _ {k} = 4$ a $m\not=k$

Historia

Pontryagin construyó superficies tales que su producto topológico es un continuo de dimensión . Esto refutó la conjetura de que bajo la multiplicación topológica de dos conjuntos compactos (métricos) sus dimensiones se suman. También demostró esta conjetura para la dimensión homológica módulo a primo y, en general, para cualquier grupo de coeficientes que sea un campo . Posteriormente, Boltyansky construyó un continuo bidimensional ( la superficie de Boltyansky ), cuyo cuadrado topológico es tridimensional. $\ Pi _ {2}$ ${\ estilo de visualización \ Pi _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ Pi = \ Pi _ {2} \ veces \ Pi _ {3}}$ $3$ $B$ $B^{2}=B\veces B$

Variaciones y generalizaciones

la superficie de Boltyansky es un continuo bidimensional cuyo cuadrado topológico es tridimensional. $B$ $B^{2}=B\veces B$

Literatura

P. S. Aleksandrov Introducción a la teoría de la dimensión homológica y la topología combinatoria general , Moscú, 1975.
V. Boltyanski . Sobre el teorema de la suma de dimensiones // Uspekhi Mat . - 1951. - T. 6 , N° 3 (43) . - S. 99-128 . (Ruso)
L. Pontjagin . Sobre una hipótesis fundamental de la teoría de la dimensión // Gomptes Rendus. - 1930. - T. 190 . - S. 1105-1107 .