Coordenadas semigeodésicas

Las coordenadas semigeodésicas o coordenadas normales geodésicas son coordenadas en una variedad riemanniana bidimensional caracterizada por el hecho de que las líneas de coordenadas correspondientes son geodésicas en las que juega el papel de un parámetro natural , y las superficies de coordenadas son ortogonales a estas geodésicas. $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $norte$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}=\mathrm {const}$

En coordenadas semi-geodésicas, la primera forma cuadrática tiene la forma [1]

\mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},

es decir , para todos . $g_{11}\equiv 1$ $g_{1j}\equiv 0$ ${\ estilo de visualización j> 1}$

Ejemplos

Las coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano son semigeodésicas.

El espacio de Lobachevsky admite coordenadas semigeodésicas con tensor métrico
${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^ {2\cdot x_{1}}\end{pmatriz}}$
- En otras palabras, el espacio de Lobachevsky -dimensional es isométrico al producto curvo . $norte$ $\mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times}_{\exp ))}\mathbb {R}$

Propiedades

Las coordenadas semigeodésicas se pueden introducir en una vecindad suficientemente pequeña de cualquier punto de cualquier variedad de Riemann [1] .

Cualquier variedad completa simplemente conexa de curvatura no positiva admite coordenadas semigeodésicas globales con la primera coordenada igual a la función de Busemann .

En el caso de una superficie bidimensional (variedad), la primera forma cuadrática en coordenadas semigeodésicas tiene la forma [1] $tú, v$ $\mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2}$

con una función positiva , mientras que la curvatura gaussiana de la superficie se calcula mediante la fórmula

{\ estilo de visualización B (u, v)}

K=-B_{uu}/B.

Literatura

Sh. Kobayashi, K. Nomizu . Fundamentos de geometría diferencial, M.: Nauka, 1981.
W. Klingenberg . Geometría riemanniana, de Gruyter (1982).
W. Klingenberg . Un curso de geometría diferencial, Springer (1983).
B. O'Neill . Geometría semi-riemanniana (con aplicaciones a la relatividad), Acad. Prensa (1983).

Enlaces

Notas

↑ 1 2 3 Enciclopedia de Matemáticas