Seminorma

Semi -norma o pre -norma es una generalización del concepto de norma ; en contraste con este último, la seminorma puede desaparecer en elementos distintos de cero del espacio.

Definición

Una seminorma es una función no negativa , en un espacio lineal sobre el campo de los números reales o complejos , que cumple las siguientes condiciones: $p\colon L \to\R$ $L$

Uniformidad absoluta : para cualquier escalar $p(\alfa x)=|\alfa|p(x)$ $\alfa$
Triángulo Desigualdad : Para Todos $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \en L$

El espacio se denomina espacio semi-normado. ${(L,\;p)}$

Propiedades

$p(0)=0$

Esta propiedad se sigue de la primera condición de definición e igualdad , aquí el primer cero pertenece al campo de los números reales o complejos, y el segundo y tercero pertenecen al espacio :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(donde se sigue de la linealidad )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Esta propiedad también se obtiene de la primera condición en .

\alfa = -1

$p(x) \geqslant 0$

Si asumimos la existencia de tal que , entonces se sigue de la primera condición de la definición que y . Usando la segunda condición, obtenemos una contradicción con la primera propiedad.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Literatura

Rudin W. Análisis funcional, trad. del inglés, - M. , 1975.