Segmento esférico

Un segmento esférico es una superficie , una parte de una esfera separada de ella por cierto plano . El plano corta dos segmentos: el segmento más pequeño también se llama círculo esférico [1] . Si el plano de corte pasa por el centro de la esfera, entonces la altura de ambos segmentos es igual al radio de la esfera, y cada uno de estos segmentos esféricos se denomina hemisferio .

Un segmento esférico es un cuerpo geométrico , una parte de una bola separada de ella por un cierto plano. La superficie de un segmento esférico es la unión de un segmento esférico y un círculo (la base del segmento esférico), cuyos límites coinciden.

Volumen y área superficial

Si el radio de la base del segmento es , la altura del segmento es , entonces el volumen del segmento esférico es [2] $a$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

el área de superficie del segmento es

{\ estilo de visualización A = 2 \ pi rh}

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).

Parámetros , y están relacionados por relaciones $a$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Sustituyendo la última expresión en la primera fórmula para calcular el área se obtiene la igualdad

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Note que en la parte superior de la esfera (el segmento azul en la figura) en la parte inferior de la esfera , por lo tanto, la expresión es válida para ambos segmentos y se puede dar otra expresión para el volumen: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

La fórmula para determinar el volumen también se puede obtener integrando la superficie de revolución:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Aplicación

El volumen de la unión e intersección de dos esferas que se cruzan

El volumen de unión de dos esferas de radios r 1 y r 2 es [3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

dónde

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

es la suma de los volúmenes de las dos esferas por separado, y

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})

es la suma de los volúmenes de dos segmentos esféricos que forman la intersección de estas esferas. Sea d < r 1 + r 2 la distancia entre los centros de las esferas, luego la eliminación de los valores h 1 y h 2 conduce a la expresión [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\derecha).

Superficie delimitada por círculos de distintas latitudes

El área superficial delimitada por círculos de diferentes latitudes es la diferencia entre las áreas superficiales de los dos segmentos esféricos correspondientes. Para una esfera de radio r y latitudes φ 1 y φ 2 , esta área es [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Área de un área cuadrada de la superficie de una esfera

Un segmento cortado en una esfera de radio r por cuatro arcos de grandes círculos que tienen la misma longitud angular θ y son perpendiculares por pares (un cuadrado esférico análogo a un cuadrado en un plano) tiene área

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Si el ángulo θ es pequeño (en comparación con 1 radian ), entonces la igualdad aproximada es válida, según la aproximación en $\cos x\to 1-x^{2}/2$ ${\ estilo de visualización x \ a 0:}$

A\aproximadamente 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

Por ejemplo, el área de un área cuadrada de la superficie terrestre ( R ⊕ = 6378 km) con lados iguales a 1 grado es

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 segundo cuadrado de la superficie terrestre tiene un área 3600 2 veces menor: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Generalizaciones

Secciones de otros cuerpos

Un segmento esferoidal se obtiene cortando una parte del esferoide de tal manera que tenga simetría circular (tenga un eje de rotación). Un segmento elipsoidal se define de manera similar.

Segmento hiperesfera

El volumen de un segmento bidimensional de una hiperesfera con altura y radio en el espacio euclidiano bidimensional está determinado por la fórmula [7] $norte$ $h$ $r$ $norte$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

donde ( función gamma ) viene dada por $\Gama$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

La expresión para el volumen se puede reescribir en términos del volumen de la bola unitaria dimensional y la función hipergeométrica o la función beta incompleta regularizada como $V$ $norte$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${\ estilo de visualización {}_ {2} F_ {1}}$ ${\ Displaystyle I_ {x} (a, b)}$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

La fórmula para el área de superficie se puede escribir en términos del área de superficie de una bola unitaria dimensional como $A$ $norte$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\derecha),

dónde ${\ estilo de visualización 0 \ leq h \ leq r.}$

Las siguientes fórmulas también son válidas [8] : donde $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

A ${\ estilo de visualización n = 2k + 1:}$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Se demostró [9] que for y where es la distribución normal estándar . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ ${\ estilo de visualización F ()}$

Literatura

A. I. Markushevich, A. Ya. Khinchin, P. S. Alexandrov. Conceptos básicos de geometría esférica // Enciclopedia de matemáticas elementales. Libro 4 - Geometría . - Moscú: GIFML, 1963.

Notas

↑ Enciclopedia de Matemáticas Elementales, 1963 , p. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Manual de matemáticas para ingenieros y científicos (inglés) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - Pág. 69. - ISBN 9781584885023 . Archivado el 2 de febrero de 2017 en Wayback Machine .
↑ Connolly ML Cálculo del volumen molecular // J. Am. química social. - 1985. - vol. 107 . - P. 1118-1124 . -doi : 10.1021/ ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. Un método para calcular el volumen de una molécula // Comput . química - 1982. - vol. 6 _ - P. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Volúmenes y radios de Bondi A. Van der Waals // J. Phys . química. - 1964. - Vol. 68 . - Pág. 441-451 . -doi : 10.1021/ j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Desarrollo de software exitoso . - 2ª ed.. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - P. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Fórmulas concisas para el área y el volumen de un casquete hiperesférico // Asian J. Math. estadística - 2011. - vol. 4 , núm. 1 . - P. 66-70 . -doi : 10.3923 / ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. Sobre algoritmos minimax para generar y recibir señales // Probl. transmisión de información - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Ruso)
↑ Chudnov A. M. Problemas de teoría de juegos de síntesis de algoritmos para generar y recibir señales // Probl. transmisión de información - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Ruso)