Regla de runge

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La regla de Runge , una regla para estimar el error de los métodos numéricos , fue propuesta por K. Runge a principios del siglo XX. [una]

La idea principal (para los métodos de Runge-Kutta para resolver ODE ) es calcular la aproximación por el método elegido con el paso h, y luego con el paso h/2, y luego considerar las diferencias de error para estos dos cálculos.

Aplicación de la regla de Runge

Estimación de la precisión de calcular una integral definida

La integral se calcula utilizando la fórmula elegida (rectángulos, trapecios, parábolas de Simpson) con el número de pasos igual a n, y luego con el número de pasos igual a 2n. El error al calcular el valor de la integral con el número de pasos igual a 2n se determina por la fórmula de Runge: , para las fórmulas de los rectángulos y trapecios , y por la fórmula de Simpson . [2]
$\Delta _{{2n}}\aprox. \Theta |I_{{2n}}-I_{{n}}|$ $\Theta ={\frac{1}{3}}$ $\Theta ={\frac{1}{15}}$

Así, la integral se calcula para valores sucesivos del número de pasos , donde es el número de pasos inicial. El proceso de cálculo finaliza cuando el siguiente valor de N satisface la condición , donde es la precisión especificada. $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\puntos$ $n_ {0}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {2n} < \ varepsilon}$ $\varepsilon$

Estimación de la precisión de la solución numérica de la EDO

También se utiliza para estimar la precisión de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias en cuadrículas regulares. Para la estimación se requiere resolver el problema en 2 grillas, una con el paso h ( ) y la segunda con el paso h/2 ( ). Fórmula [3] $y_{{yo, h}}$ $y_{{i,h/2}}$

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}$

da el error de la solución . Por se entiende el orden de precisión del método numérico utilizado. Por ejemplo, para un método numérico que tiene el cuarto orden de precisión, la fórmula toma la forma: $y_{{i,h/2}}$ $pags$

${1 \sobre 15}|y_{{i,h}}-y_{{i,h/2}}|$

Notas

↑ Ivan P. Gavrilyuk, "2.4 Estimación de errores a posteriori y generación automática de cuadrículas". // Esquemas de diferencias exactas y truncadas para ODE de valor límite, Springer, 2011, ISBN 9783034801072 , páginas 76-77: "La primera posibilidad es la técnica clásica propuesta por Carl Runge".
↑ Ogorodnikov A. S., Orlov O. V., 6. Regla de Runge para estimar el error de integración Copia de archivo fechada el 14 de septiembre de 2013 en Wayback Machine // Trabajo de laboratorio No. 4. Integración numérica, taller de laboratorio sobre el curso "Métodos numéricos" (ENIN) Archivado 8 de diciembre de 2015 en Wayback Machine , Universidad Politécnica de Tomsk
↑ P. V. Vinogradova, A. G. Ereklintsev, 8. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Archivado el 14 de septiembre de 2013 en Wayback Machine // MÉTODOS NUMÉRICOS Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , Far Eastern State University of Transportation, 2011

Literatura

REGLA DE RUNGE // Enciclopedia Matemática. — M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. , Computational Methods, 3ª ed., volumen 1, M., 1966; 2ª ed., volumen 2, M., 1962;
Métodos numéricos modernos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, trad. del inglés, M., 1979. A. B. Ivanov.

Enlaces

Osokin AE, 4.7 Regla de Runge para la estimación del error. Extrapolación de Richardson. Copia de archivo fechada el 24 de mayo de 2013 en Wayback Machine // INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE ANÁLISIS Y ÁLGEBRA LINEAL Copia de archivo fechada el 1 de enero de 2013 en Wayback Machine , Universidad Estatal de Gorno-Altai, 2002