El signo de pascual

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El signo de Pascal es un método matemático que te permite obtener signos de divisibilidad por cualquier número. Una especie de "signo universal de divisibilidad".

Vista general

Sea un número natural escrito en notación decimal como , donde son unidades, son decenas, etc. $A$ $\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ $un_{0}$ $un_{1}$

Sea un número natural arbitrario por el que queremos dividir y mostrar el signo de divisibilidad por él. $metro$

Encontramos una serie de residuos según el siguiente esquema:

r_{1}

- resto después de dividir por

diez

metro

r_{2}

- resto después de dividir por

10\cdot r_{1}

metro

r_3

- resto después de dividir por

10\cdot r_{2}

metro

…

r_{n}

es el resto después de dividir por .

10\cdot r_{{n-1}}

metro

Formalmente:

r_{1}\equiv 10{\pmod m}

r_{i}\equiv 10\cdot r_{{i-1}}{\pmod m},\;i=\overline {2...n}

Dado que hay un número finito de residuos (es decir, no más de ), este proceso se realizará en ciclos (a más tardar en pasos) y no puede continuar más: A partir de algunos , donde es el período de secuencia resultante . Por uniformidad, podemos suponer que . $metro$ $metro$ $i=i_{0}:~r_{{i+p}}=r_{i}$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ {r_ {i} \}}$ ${\ estilo de visualización r_ {0} = 1}$

Entonces tiene el mismo residuo después de la división por que el número $A$ $metro$

$r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$ .

Prueba

Usando el hecho de que en un módulo de expresión algebraica podemos reemplazar números con sus residuos cuando se dividen por , obtenemos: $metro$ $metro$

$A{\pmod {m}}=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}){\pmod {m} }=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot 10+a_{0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {metro}}$ $=(({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10+a_{1})\cdot r_{1}+a_{0}r_{ 0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}}}\cdot 10r_{1}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}=\ldots =$ $(a_{n}r_{n}+\ldots +a_{2}r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m))$

Principales casos especiales

Prueba de divisibilidad por 2

aquí _ Desde entonces . De aquí obtenemos un signo bien conocido: el resto de dividir un número por 2 es igual al resto de dividir su último dígito por 2 , o por lo general: un número es divisible por 2 si su último dígito es par . $metro=2$ $10~\vpuntos ~2$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\en \mathbb {N}$

Signos de divisibilidad por 3 y 9

Aquí o . Dado que ( el resto de dividir 10 entre 3 y 9 es 1 ), entonces todo . Esto significa que el resto de dividir un número por 3 (o 9) es igual al resto de dividir la suma de sus dígitos por 3 (respectivamente, 9) , o de lo contrario: el número es divisible por 3 (o 9) si el la suma de sus dígitos es divisible por 3 (o 9) . $metro=3$ $metro=9$ $10^{i}\equiv 1{\pmod {3)),i\en \mathbb {N}$ ${\ estilo de visualización r_ {i} = 1}$

La prueba de divisibilidad por 4

aquí _ Encontramos la secuencia de residuos: . De aquí obtenemos un signo: el resto de dividir un número por 4 es igual al resto de dividir por 4 , o, observando que el resto depende solo de los últimos 2 dígitos: un número es divisible por 4 si el número consiste en sus 2 últimos dígitos son divisibles por 4 . $metro=4$ $r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\en \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2\cdot a_{1}+a_{0))$

Signo de divisibilidad por 5

aquí _ Desde entonces . De aquí nos sale un signo bien conocido: el resto de dividir un número por 5 es igual al resto de dividir su última cifra por 5 , o normalmente: un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5 . $metro=5$ $10~\vpuntos~5$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\en \mathbb {N}$

Signo de divisibilidad por 7

aquí _ Encontramos el resto. $metro=7$

$10=1\cdot 7+3\Rightarrow r_{1}=3$
$10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2$
$10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6$
$10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4$
$10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r_{5}=5$
$10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}$ , el ciclo está cerrado.

Por lo tanto, para cualquier número

A=\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}

su resto cuando se divide por 7 es

a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\ldots

. Ejemplo

Considere el número 48916. Como se demostró anteriormente,

48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=

6+3+18+48+16=91\equiv 0{\pmod {7}}

entonces 48916 es divisible por 7.

Signo de divisibilidad por 11

aquí _ Dado que , entonces todos , a . Desde aquí puede obtener un criterio simple para la divisibilidad por 11: ${\ estilo de visualización m = 11}$ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1{\pmod {11}}$ ${\ estilo de visualización r_ {2i} = 1}$ $r_{2i-1}=10\equiv -1{\pmod {11))$

el resto de dividir un número por 11 es igual al resto de dividir su suma de dígitos, donde cada dígito impar (a partir de las unidades) se toma con un signo "-", por 11.

Simplemente pon:

si divide todos los dígitos de un número en 2 grupos, hasta un dígito (todos los dígitos con posiciones impares caerán en un grupo, y los pares en el otro), sume todos los dígitos en cada grupo y reste una cantidad recibida del otro, entonces el resto de dividir por 11 El resultado será el mismo que el número original.

Literatura

Vorobyov N. N. Signos de divisibilidad . - 4ª ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 p. - ( Clases populares de matemáticas ). — ISBN 5-02-013731-6 .