Principio de Dirichlet (física matemática)

En física matemática , el principio de Dirichlet se refiere a la teoría del potencial y se formula de la siguiente manera: si la función u ( x ) es una solución a la ecuación de Poisson :

{\ estilo de visualización \ Delta u + f = 0}

en un dominio con una condición de frontera en la frontera , entonces se puede encontrar u como una solución al problema variacional : encontrar el mínimo $\Omega \subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ ${\ estilo de visualización u = g}$ $\Omega$

E[v(x)]=\int_{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm { d}x

entre todas las funciones dos veces diferenciables tales que en el límite . $v$ ${\ estilo de visualización v = g}$ $\Omega$

Esta afirmación fue formulada (pero no probada) por el matemático alemán Dirichlet . Karl Weierstrass demostró que el principio de Dirichlet es incorrecto en algunas situaciones; más tarde, las condiciones para su aplicación fueron especificadas por Bernhard Riemann , Henri Poincaré , David Hilbert y otros matemáticos.

Literatura

Berdichevsky VL Principios variacionales de la mecánica continua. — M.: Nauka, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7 .
Mikhlin SG Métodos variacionales para resolver problemas de física matemática . UMN 5:6(40) (1950), 3-51.
Petrova S.S. Sobre el principio de Dirichlet // Historia y metodología de las ciencias naturales. - M. : MGU, 1966. - Edición. 5 . - S. 200-218 .

Enlaces

Weisstein, Principio de Eric W. Dirichlet (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .