Problema de thomson

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 30 de marzo de 2020; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

El problema de Thomson tiene como objetivo determinar la configuración mínima de la energía potencial total de una carga electrostática para N electrones , acotados por la superficie de una esfera unitaria, que se repelen entre sí por la fuerza dada por la Ley de Coulomb . El físico J. J. Thomson planteó el problema en 1904 después de proponer un modelo del átomo, más tarde llamado modelo pudín , basado en su conocimiento de la existencia de electrones con carga negativa en átomos con carga neutra.

Los problemas relacionados incluyen el estudio de la geometría de la configuración de energía mínima y el estudio del comportamiento de la energía mínima de N en N grande.

Formulación matemática

El sistema físico representado en el problema de Thomson es un caso especial de uno de los dieciocho problemas matemáticos sin resolver propuestos por el matemático Steven Smale : "Distribución de puntos en una esfera". La solución a cada problema de N electrones se obtiene cuando la configuración de N electrones acotados por la superficie de una esfera de radio unidad, r = 1, da el mínimo global de la energía potencial electrostática U(N)

La energía de interacción electrostática que ocurre entre cada par de electrones de cargas iguales ( , la carga elemental de un electrón) está determinada por la ley de Coulomb, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))).))$

aquí está la constante de Coulomb y la distancia entre cada par de electrones ubicados en puntos de la esfera, determinada por los vectores y, respectivamente. ${\ Displaystyle k_ {e}}$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${\ estilo de visualización {r}_{i}}$ ${\ estilo de visualización {r} _ {j}}$

Se utilizan unidades y simplificadas sin perder el significado principal. Después, ${\ estilo de visualización e = 1}$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).))$

La energía potencial total de la carga electrostática de cada configuración de N-electrones se puede expresar como la suma de todas las interacciones de pares.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

La minimización global sobre todos los conjuntos posibles de N puntos distintos generalmente se encuentra mediante algoritmos de minimización numérica.

Ejemplo

La solución al problema de Thomson para dos electrones se obtiene cuando ambos electrones están lo más separados posible en lados opuestos del origen, , o ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización r_ {ij} = 2r = 2))$

{\displaystyle U(2)={1 \sobre 2}}.}

Soluciones conocidas

Soluciones geométricas esquemáticas del problema matemático de Thomson para hasta N = 5 electrones.

Las configuraciones de energía mínima solo se han definido estrictamente en unos pocos casos.

Para N = 1, la solución es trivial, ya que el electrón puede ubicarse en cualquier punto de la superficie de la esfera unitaria. La energía total de la configuración se define como cero, ya que el electrón no está sujeto a un campo eléctrico debido a ninguna otra fuente de carga.
Para N = 2, la configuración óptima consiste en electrones en los puntos antípodas.
Para N = 3, los electrones están en los vértices de un triángulo equilátero alrededor de un gran círculo.
Para N = 4, los electrones están en los vértices de un tetraedro regular .
Para N = 5, en 2010 se obtuvo una solución informática matemáticamente rigurosa con electrones ubicados en los vértices de una bipirámide triangular.
Para N = 6, los electrones están en los vértices de un octaedro regular .
Para N = 12, los electrones están en los vértices de un icosaedro regular .

Cabe destacar que las soluciones geométricas del problema de Thomson para N = 4, 6 y 12 electrones se conocen como sólidos platónicos cuyas caras son triángulos equiláteros iguales. Las soluciones numéricas para N = 8 y 20 no son configuraciones poliédricas convexas regulares de los dos sólidos platónicos restantes , cuyas caras son cuadradas y pentagonales, respectivamente.

Generalizaciones

También es posible consultar los estados fundamentales de partículas que interactúan con potenciales arbitrarios. Para ser matemáticamente preciso, sea f una función real decreciente. Definimos la función de energía $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Tradicionalmente considerado también conocido como el núcleo de Riesz. Para núcleos de Riesz no integrables , se cumple el teorema de la rosquilla de amapola . Los casos notables incluyen α = ∞, el problema de Tammes; α = 1, problema de Thomson; α = 0, problema de las blancas (para maximizar el producto de las distancias). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Relaciones con otros temas científicos

El problema de Thomson es una consecuencia natural del modelo de budín de ciruelas de Thomson en ausencia de su carga de fondo positiva uniforme.

"Ningún hecho descubierto sobre el átomo puede ser trivial y puede acelerar el progreso de la ciencia física, ya que la mayor parte de la filosofía natural es el resultado de la estructura y el mecanismo del átomo".

Aunque los datos experimentales han llevado al abandono del modelo de pudín de Thomson como un modelo completo del átomo, se ha encontrado que las faltas de homogeneidad observadas en las soluciones numéricas de energía del problema de Thomson corresponden al llenado de la capa de electrones con átomos naturales a lo largo de todo el proceso. la tabla periódica de los elementos.

El problema de Thomson también desempeña un papel en el estudio de otros modelos físicos, incluidas las burbujas multielectrónicas y el orden superficial de las gotitas de metal líquido atrapadas en las trampas de Paul.

El problema generalizado de Thomson surge, por ejemplo, al determinar la ubicación de las subunidades proteicas que componen las envolturas de los virus esféricos. Las "partículas" en este caso son grupos de subunidades de proteínas ubicadas en el caparazón. Otros ejemplos incluyen la disposición regular de partículas coloidales en coloidosomas , propuestos para encapsular ingredientes activos como fármacos, nutrientes o células vivas, estructuras de fullereno de átomos de carbono y la teoría de la repulsión de pares de electrones. Un ejemplo de interacciones logarítmicas de largo alcance son los vórtices de Abrikosov, que se formarían a bajas temperaturas en una capa de metal superconductor con un gran campo electromagnético en el centro.

Configuraciones de energía más bajas conocidas

En la siguiente tabla - el número de puntos (cargas) en la configuración, - la energía, el tipo de simetría se indica en notación de Schoenflies (ver Grupos de puntos en tres dimensiones ), - las posiciones de las cargas. La mayoría de los tipos de simetría requieren que la suma vectorial de las posiciones (y por lo tanto el momento dipolar eléctrico ) sea cero. $norte$ $E_1$ $Rhode Island}$

También es habitual tener en cuenta el poliedro formado por la envolvente convexa de puntos. Por lo tanto, es el número de vértices donde ocurre un número dado de aristas, es el número total de aristas, es el número de caras triangulares, es el número de caras cuadriláteras y es el ángulo más pequeño representado por los vectores asociados con el par más cercano de cargos Tenga en cuenta que las longitudes de los bordes no suelen ser iguales; así (excepto para los casos N = 4, 6, 12, 24) la envolvente convexa es solo topológicamente equivalente a un poliedro homogéneo o cuerpo de Johnson. Estos últimos se enumeran en la última columna. $v_{i}$ $mi$ $f_3$ ${\ Displaystyle f_ {4}}$ $\ theta _ {1}$

norte	mi 1	Simetría	${\displaystyle {\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|))$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {3}}}$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {4}}}$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {5))}$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {6}}}$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {7))}$	${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización v_ {8))}$	mi	${\ Displaystyle f_ {3}}$	${\ Displaystyle f_ {4}}$	${\ estilo de visualización \ theta _ {1}}$	poliedro equivalente
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	una	—	—	180.000°	dvuagon
3	1.732050808	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	—	—	—	—	—	—	3	una	—	120.000°	triángulo
cuatro	3.674234614	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	cuatro	0	0	0	0	0	6	cuatro	0	109.471°	tetraedro
5	6.474691495	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	bipirámide triangular
6	9.985281374	${\ estilo de visualización O_ {h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	ocho	0	90.000°	octaedro
7	+14.452977414	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	quince	diez	0	72.000°	bipirámide pentagonal
ocho	+19.675287861	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	ocho	0	0	0	0	dieciséis	ocho	2	71.694°	antiprisma cuadrado
9	+25.759986531	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	catorce	0	69.190°	prisma triangular
diez	+32.716949460	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	ocho	0	0	0	24	dieciséis	0	64.996°	Bipirámide cuadrada alargada Gyro
once	+40.596450510	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0.013219635	0	2	ocho	una	0	0	27	Dieciocho	0	58.540°	icosaedro comprimido por un borde
12	+49.165253058	${\ estilo de visualización I_ {h}}$	0	0	0	12	0	0	0	treinta	veinte	0	63.435°	icosaedro
13	+58.853230612	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0.008820367	0	una	diez	2	0	0	33	22	0	52.317°	—
catorce	+69.306363297	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	bipirámide hexagonal alargada retorcida
quince	+80.670244114	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°	—
dieciséis	+92.911655302	$T$	0	0	0	12	cuatro	0	0	42	28	0	48.936°	—
17	+106.050404829	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	treinta	0	50.108°	—
Dieciocho	+120.084467447	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	ocho	ocho	0	0	48	32	0	47.534°	—
19	+135.089467557	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0.000135163	0	0	catorce	5	0	0	cincuenta	32	una	44.910°	—
veinte	+150.881568334	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	ocho	0	0	54	36	0	46.093°	—
21	+167.641622399	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0.001406124	0	una	diez	diez	0	0	57	38	0	44.321°	—
22	+185.287536149	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	diez	0	0	60	40	0	43.302°	—
23	+203.930190663	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	once	0	0	63	42	0	41.481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	cubo chato
25	+243.812760299	${\ estilo de visualización C_ {S}}$	0.001021305	0	0	catorce	once	0	0	68	44	una	39.610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0.001919065	0	0	12	catorce	0	0	72	48	0	38.842°	—
27	+287.302615033	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	quince	0	0	75	cincuenta	0	39.940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	dieciséis	0	0	78	52	0	37.824°	—
29	+334.634439920	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°	—
treinta	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	Dieciocho	0	0	84	56	0	36.942°	—
31	+385.530838063	${\ Displaystyle C_ {3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°	—
32	+412.261274651	${\ estilo de visualización I_ {h}}$	0	0	0	12	veinte	0	0	90	60	0	37.377°	—
33	+440.204057448	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.004356481	0	0	quince	17	una	0	92	60	una	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°	—
37	+560.618887731	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°	—
38	+593.038503566	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°	—
39	+626.389009017	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°	—
40	+660.675278835	${\ Displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°	—
41	+695.916744342	${\ Displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°	—
42	+732.078107544	${\ Displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	treinta	0	0	120	80	0	31.245°	—
43	+769.190846459	${\ Displaystyle C_ {2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°	—
44	+807.174263085	${\ estilo de visualización O_ {h}}$	0	0	0	24	veinte	0	0	120	72	6	31.258°	—
45	+846.188401061	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°	—
47	+927.059270680	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.002482914	0	0	catorce	33	0	0	134	88	una	28.787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°	—
cincuenta	+1055.182314726	${\ Displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°	—
51	+1099.819290319	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0.000278469	0	0	Dieciocho	35	0	0	150	96	3	27.137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°	—
57	+1387.383229253	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0.000154286	0	0	catorce	43	2	0	171	114	0	26.170°	—
60	+1543.830400976	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°	—
62	+1652.909409898	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	cincuenta	0	0	180	120	0	25.880°	—
63	+1708.879681503	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°	—
sesenta y cinco	+1823.667960264	$C_{2}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°	—
67	+1942.122700406	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°	—
69	+2064.533483235	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°	—
70	+2127.100901551	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	cincuenta	0	0	200	128	cuatro	24.291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0.001256769	0	0	catorce	55	2	0	207	138	0	23.803°	—
72	+2255.001190975	$yo$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	—
73	+2320.633883745	${\ estilo de visualización C_ {2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°	—
74	+2387.072981838	${\ estilo de visualización C_ {2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°	—
75	+2454.369689040	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°	—
77	+2591.850152354	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	sesenta y cinco	0	0	225	150	0	23.286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°	—
79	+2733.248357479	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.000702921	0	0	12	63	una	0	230	152	una	22.636°	—
80	+2805.355875981	${\ Displaystyle D_ {4d}}$	0	0	0	dieciséis	64	0	0	232	152	2	22.778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0.000339815	0	0	catorce	67	2	0	243	162	0	21.646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°	—
90	+3579.091222723	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°	—
101	+4540.590051694	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°	—
102	+4633.736565899	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°	—
104	+4822.876522746	${\ estilo de visualización D_ {6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°	—
105	+4919.000637616	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°	—
106	+5015.984595705	${\ Displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0.000647299	0	0	catorce	93	2	0	321	214	0	19.103°	—
110	+5413.549294192	${\ estilo de visualización D_ {6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°	—
111	+5515.293214587	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°	—
112	+5618.044882327	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°	—
113	+5721.824978027	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°	—
120	+6474.756324980	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°	—
122	+6698.374499261	${\ estilo de visualización I_ {h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0.001939754	0	0	catorce	107	2	0	363	242	0	17.840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°	—
126	+7157.669224867	${\ Displaystyle D_ {4}}$	0	0	2	dieciséis	100	ocho	0	372	248	0	17.920°	—
127	+7274.819504675	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°	—
132	+7875.045342797	$yo$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°	—
135	+8246.909486992	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°	—
137	+8499.534494782	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0.000630351	0	0	13	126	una	0	414	276	0	16.773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0.000376365	0	0	catorce	126	0	una	417	278	0	16.962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°	—
145	+9548.928837232	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0.000638186	0	0	catorce	133	2	0	441	294	0	16.344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°	—
153	+10660.082748237	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°	—
162	+11984.050335814	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°	—
166	+12597.649071323	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	dieciséis	146	cuatro	0	492	328	0	15.607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°	—
169	+13068.006451127	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.000068102	0	0	13	155	una	0	501	334	0	15.537°	—
170	+13226.681078541	${\ Displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°	—
171	+13386.355930717	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0.000547291	0	0	catorce	156	2	0	510	340	0	15.292°	—
173	+13708.635243034	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°	—
176	+14199.354775632	${\ estilo de visualización C_ {1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°	—
177	+14364.837545298	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0.000125113	0	0	13	165	una	0	531	354	0	14.968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°	—
182	+15206.730610906	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°	—
187	+16072.975186320	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0.001129202	0	0	13	177	una	0	567	378	0	14.195°	—
192	+16963.338386460	$yo$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°	—
195	+17509.489303930	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°	—
197	+17878.340162571	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0.001048859	0	0	13	187	una	0	597	398	0	13.830°	—
202	+18817.204718262	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°	—
203	+19007.981204580	${\ Displaystyle C_ {s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°	—
212	+20768.053085964	$yo$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°	—
216	+21575.596377869	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°	—
217	+21779.856080418	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°	—
255	+30264.424251281	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12.565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°	—
257	+30749.941417346	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°	—
272	+34515.193292681	${\ estilo de visualización I_ {h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	—
282	+37147.294418462	$yo$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	—
292	+39877.008012909	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°	—
315	+46525.825643432	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11.337°	—
317	+47128.310344520	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°	—
318	+47431.056020043	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11.219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11.058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°	—
357	+59999.922939598	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°	—
372	+65230.027122557	$yo$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	—
382	+68839.426839215	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10.222°	—
392	+72546.258370889	$yo$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10.068°	—
402	+76351.192432673	${\ estilo de visualización D_ {5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°	—
432	+88353.709681956	${\ Displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°	—
468	+103920.871715127	${\ estilo de visualización S_ {6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9.120°	—
470	+104822.886324279	${\ estilo de visualización S_ {6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9.059°	—

Según el supuesto, si , p es un poliedro formado por una envolvente convexa de m puntos, q es el número de caras cuadrangulares p , entonces la solución para m electrones es f ( m ): . ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización m = n + 2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Enlaces

Thomson, Joseph John (marzo de 1904). “Sobre la estructura del átomo: estudio de la estabilidad y períodos de oscilación de un número de corpúsculos ubicados a intervalos regulares alrededor de la circunferencia de un círculo; con la aplicación de los resultados a la teoría de la estructura atómica" (PDF). Revista filosófica . Serie 6. 7 (39): 237-265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2013.
Smale, S. (1998)."Problemas matemáticos del próximo siglo". "Inteligencia Matemática".
Föppl, L. (1912). "La disposición estable de los electrones en el átomo" por J. Rain Angew. Matemáticas (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). "Un caso de cinco electrones del problema de Thomson". arXiv: 1001.3702 ; [math.MG].
^ Landkof N. S. Fundamentos de la teoría potencial moderna. Traducción del ruso por A.P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, grupo 180. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1972. x + 424 págs.
^ Hardin DP; Saff, E. B. Discretización de variedades a través de puntos de mínima energía. Notas de Amer. Soc. Matemáticas 51 (2004), núm. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzón, JJ (2003). "Por qué las cargas van a la superficie: un problema de Thomson generalizado". Europhys. Lett . 63(3): 415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir JJ Thomson, Conferencia Romanov, 1914 (Teoría atómica)
LaFave Jr, Tim (2013). "Correspondencias entre el problema electrostático clásico de Thomson y la estructura electrónica atómica". Revista de electrostática . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. "Configuraciones de energía mínima de electrones en una esfera" . Consultado el 01-05-2014.
" A008486 de Sloane (ver comentario 3 de febrero de 2017) ". Enciclopedia electrónica de secuencias enteras . Fundación OEIS. Recibido 2017-02-08