Sistema de coordenadas homogéneo
Las coordenadas homogéneas son un sistema de coordenadas utilizado en geometría proyectiva , similar a cómo se utilizan las coordenadas cartesianas en la geometría euclidiana .
Las coordenadas homogéneas tienen la propiedad de que el objeto que definen no cambia cuando todas las coordenadas se multiplican por el mismo número distinto de cero. Debido a esto, el número de coordenadas necesarias para representar puntos es siempre uno más que la dimensión del espacio en el que se utilizan esas coordenadas. Por ejemplo, se necesitan 2 coordenadas para representar un punto en una línea en un espacio 1D y 3 coordenadas para representar un punto en un plano en un espacio 2D. En coordenadas homogéneas es posible representar puntos pares que están en el infinito.
Introducido por Plücker como un enfoque analítico del principio de dualidad de Gergonne-Poncelet .
Geometría proyectiva
El plano proyectivo generalmente se define como el conjunto de líneas que pasan por el origen . Cualquier línea de este tipo está determinada únicamente por un punto que no coincide con el origen . Si esta recta pasa por un punto con coordenadas , entonces las coordenadas homogéneas del punto correspondiente en el plano proyectivo es un triple de números , definido hasta la proporcionalidad y tal que las tres coordenadas no pueden ser cero al mismo tiempo [1] . Por ejemplo,
De coordenadas homogéneas a afines , se puede ir de la siguiente manera: en el espacio tridimensional , se puede dibujar un plano que no pase por el origen de coordenadas ; entonces la línea que pasa por el origen es paralela a este plano (en este caso, el punto se llama "infinitamente distante"), o lo cruza en un solo punto, entonces se puede asociar con las coordenadas de este punto en el plano . Por ejemplo, dibujemos un plano en el espacio con coordenadas . Entonces un punto con coordenadas homogéneas , si , corresponde a un punto en el plano con coordenadas Inversamente, un punto con coordenadas afines en coordenadas homogéneas se escribirá como
Las líneas en el plano proyectivo son planos en el espacio tridimensional que pasan por el origen. Tal plano puede ser definido por la ecuación . Es fácil ver que cuando se multiplica por el mismo número, el plano dado por la ecuación no cambia. Esto significa que cada plano corresponde a coordenadas homogéneas . Un punto escrito en coordenadas homogéneas se puede asociar a una recta, que se escribe de la misma forma en coordenadas homogéneas. Así, las líneas en el plano proyectivo forman un "segundo plano proyectivo", este es el principio de la dualidad proyectiva .
Geometría computacional
En geometría computacional, las coordenadas homogéneas se utilizan para calcular operaciones en el plano euclidiano. El plano euclidiano se completa temporalmente al proyectivo, a las coordenadas cartesianas de los puntos se le suma la coordenada homogénea 1, luego se realizan las operaciones, luego al final se realiza la división por la coordenada homogénea para obtener las coordenadas cartesianas, y los puntos en el infinito son tratados de manera especial. Este enfoque hace posible codificar de forma rápida y precisa operaciones con objetos en un plano. Una línea que pasa por dos puntos y un punto en la intersección de dos líneas se codifican mediante el producto cruzado . Además, a menudo, la extensión del plano euclidiano al plano proyectivo permite evitar considerar casos especiales en construcciones intermedias, por ejemplo, líneas que se cortan o paralelas, y llevar a cabo el análisis solo al final.
Las coordenadas enteras homogéneas generalizan los números racionales . La tercera coordenada homogénea sirve como denominador común para las dos primeras coordenadas, por lo que todos los cálculos se pueden realizar sin errores (en aritmética larga ).
Ejemplos
Fuentes
- ↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N. Geometry Copia de archivo del 13 de julio de 2018 en Wayback Machine . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1