Teorema opuesto

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Un teorema opuesto es un enunciado en el que la condición y la conclusión del teorema original se reemplazan por sus negaciones . Todo teorema se puede expresar en forma de implicación , en la que la premisa es la condición del teorema y la consecuencia es la conclusión del teorema. Entonces el teorema escrito en la forma es opuesto a él [1] . Aquí está la negación de , es la negación de . La prueba de la necesidad y suficiencia de las condiciones del teorema para su conclusión se reduce a la prueba de uno de los dos teoremas opuestos ( y ; y ) o uno de los dos teoremas inversos ( y ; y ) [2] . $A\Flecha derecha B$ $A$ $B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $\sobrelínea {A}$ $A$ ${\sobrelínea {B}}$ $B$ $A$ $A\Flecha derecha B$ $B$ $A\Flecha derecha B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ ${\ estilo de visualización B \ flecha derecha A}$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$ $A\Flecha derecha B$ ${\ estilo de visualización B \ flecha derecha A}$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$

Si la condición y/o conclusión del teorema son proposiciones complejas, entonces el teorema opuesto admite un conjunto de formulaciones que no son equivalentes entre sí. Por ejemplo, si la condición del teorema es , y la conclusión es : , entonces hay cinco formas para el teorema opuesto: [3] $A$ ${\ estilo de visualización Y \ flecha derecha Z}$ $A\Flecha derecha (Y\Flecha derecha Z)$

${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z)))$
${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z)))$
${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
$A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z)))$
$Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z)))$

Propiedades

El teorema directo es equivalente al teorema opuesto: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
El teorema inverso es equivalente a la recta opuesta: [1] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Ejemplos

El teorema de Pitágoras se puede formular de la siguiente manera:

Si en un triángulo con lados de longitud , y el ángulo opuesto al lado es recto, entonces . $a$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

El teorema opuesto al teorema de Pitágoras se puede formular de la siguiente manera:

Si en un triángulo con lados de longitud , y el ángulo opuesto al lado no es un ángulo recto, entonces . $a$ $b$ $C$ $C$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2))$

Véase también

teorema inverso

Notas

↑ 1 2 Edelman, 1975 , pág. 33.
↑ Edelman, 1975 , pág. 34.
↑ Gradstein, 1965 , pág. 94.

Literatura

Edelman S.L. Lógica matemática. - M. : Escuela superior, 1975. - 176 p.
I.S. de Gradshtein Teoremas directo e inverso. Elementos del álgebra de la lógica. - M. : Nauka, 1965. - 127 p.