Retraso distribuido

En econometría , un modelo de rezagos distribuidos es un modelo de series temporales en el que tanto el valor actual de la variable explicativa como los valores de esta variable en periodos anteriores se incluyen en la ecuación de regresión .

El ejemplo más simple de un modelo de retraso distribuido: . Más generalmente, ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$

$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+...+b_{ p}x_{tp}+\varepsilon _{t}$

Aquí podemos hablar del impacto de corto plazo de la variable explicativa sobre la explicada ( ), así como de largo plazo ( ) Este modelo, a su vez, es un caso especial de los modelos autorregresivo y de rezago distribuido . $b_{0}$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {i = 0} ^ {p} b_ {i}}$

Ejemplos de modelos macroeconómicos en los que el desfase temporal es importante:

función de consumo
Creación de dinero en el sistema bancario.
Relación entre la oferta monetaria y el nivel de precios
Retraso entre el gasto en I+D y la productividad
Vínculos de "curva J" entre el tipo de cambio y la balanza comercial
Modelo acelerador de inversiones

Las razones de la existencia de retrasos se pueden dividir en tres grupos:

Tecnológico
institucional
Psicológico

La principal dificultad para la evaluación empírica de un modelo de rezagos distribuidos es la presencia de multicolinealidad , ya que en los datos económicos los valores vecinos de la misma serie de datos suelen estar altamente correlacionados entre sí. Además, no siempre es posible determinar a priori cuántas variables de rezago deben incluirse en el modelo. Incluso hay modelos con un número infinito de regresiones de retraso, cuyos coeficientes disminuyen indefinidamente (por ejemplo, exponencialmente ). Hay muchas tecnologías especiales para trabajar con retrasos distribuidos: por ejemplo, el método de Tinbergen y Alta es un "método de pulgar" para determinar la cantidad óptima de variables de retraso sin introducir suposiciones adicionales en el modelo. Los modelos de Koika y Almon, por el contrario, introducen supuestos sobre los coeficientes de rezago, que permiten simplificar su estimación.

El enfoque de Tinbergen y Alta

El enfoque de Tinbergen y Alta permite encontrar un equilibrio entre la precisión del modelo (el número de variables rezagadas incluidas) y la calidad de la estimación (multicolinealidad). Implica la evaluación secuencial de modelos:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+\varepsilon _{t))$
${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$
$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+\varepsilon _{t}$
…

Se recomienda detener el proceso cuando alguno de los coeficientes de las variables de rezago cambia de signo o se vuelve estadísticamente insignificante, lo que es consecuencia de la ocurrencia de multicolinealidad . Además, es poco probable, pero posible, que simplemente no haya suficientes observaciones para aumentar aún más el número de variables rezagadas.

La transformación de Koika

La transformada de Koik es una técnica que permite evaluar un modelo de rezago distribuido simplemente suponiendo que los coeficientes de las variables de rezago disminuyen exponencialmente a medida que aumenta el rezago:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{\infty}b\lambda ^{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$

En este modelo, es fácil encontrar el desfase medio así como el desfase mediano . ${\frac {\lambda}{1-\lambda}}$ $log_{\lambda}{0.5}$

Restando de esta ecuación la ecuación de , multiplicada por , obtenemos un modelo sencillo: $y_{{t-1}}$ $\lambda$

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+bx_{t}+\lambda y_{t-1}+\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1))$

Este modelo se puede estimar fácilmente utilizando el método de mínimos cuadrados ordinarios sin pérdida de grados de libertad. Aquí, sin embargo, hay una autocorrelación del término aleatorio ( c ), y peor aún, el término aleatorio está correlacionado con la variable explicativa . Por lo tanto, para evaluar el modelo, se recomienda utilizar el método de variables instrumentales o evaluar el modelo original utilizando un método de mínimos cuadrados no lineales. $\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1}$ $\varepsilon _{t-1}-\lambda \varepsilon _{t-2}$ $y_{{t-1}}$

La transformación de Koik ilustra la relación entre el rezago distribuido y los modelos autorregresivos. Los modelos de Koik corresponden a dos enfoques teóricos ampliamente utilizados para los rezagos distribuidos: el modelo de expectativas adaptativas y el modelo de ajuste parcial/stock.

El modelo de expectativa adaptativo

Se supone que la variable dependiente es una función del valor esperado de la variable explicativa. Esto es típico, por ejemplo, para modelos de inflación .

${\displaystyle y_{t}=b_{0}+b_{1}x_{t}^{e}+\varepsilon _{t))$

Las expectativas se forman como un promedio ponderado de las expectativas anteriores y el valor actual de la variable:

${\displaystyle x_{t}^{e}=(1-\lambda)x_{t-1}^{e}+\lambda x_{t))$

Las manipulaciones algebraicas conducen a la construcción de un modelo que coincide en forma con el modelo de Koik:

$y_{t}=\lambda b_{0}+\lambda b_{1}x_{t}+(1-\lambda )y_{t-1}+(\varepsilon _{t}-(1- \lambda )\varepsilon _{t-1})$

Modelo de ajuste parcial

El modelo de ajuste parcial asume una relación de largo plazo:

${\displaystyle y_{t}^{*}=b_{0}+b_{1}x_{t}+\varepsilon _{t))$

Esto es típico, por ejemplo, para los modelos de crecimiento económico, donde el producto potencial está determinado por la demanda. Sin embargo, la variable que se explica no puede ajustarse instantáneamente a los cambios en la variable explicativa:

$y_{t}-y_{t-1}=\delta (y_{t}^{*}-y_{t-1})$

Así, la diferencia fundamental entre los modelos de ajuste parcial y las expectativas adaptativas radica en qué variable no cambia instantáneamente: la explicativa o explicativa. Sin embargo, su forma funcional es similar: después de las transformaciones, obtenemos

${\displaystyle y_{t}=\delta b_{0}+\delta b_{1}x_{t}+(1-\delta )y_{t-1}+\delta \varepsilon _{t))$

Se puede observar que aquí, a diferencia del modelo de expectativas adaptativas, no existe correlación de errores entre sí y con la variable explicativa. Sin embargo, la elección del modelo , por supuesto, debe explicarse no por la conveniencia de su evaluación, sino por las premisas teóricas que subyacen al fenómeno en estudio.

Lagi Almón

Estimando el modelo , podemos suponer que el coeficiente de la variable rezagada cambia en cierto sentido suavemente, y aproximarlo usando el polinomio: . Una transformación lineal de variables permite estimar el modelo utilizando los mínimos cuadrados habituales, y el número de grados de libertad, por supuesto, será mayor que cuando se evalúa por separado, a menos que q<p. ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}b_{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$ ${\displaystyle b_{i}=c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{j))$ $bi}$

$y_{t}=a_{0}+\sum_{i=0}^{p}(c_{0}+\sum_{j=1}^{q}c_{j}i^{ j})x_{ti}+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}(\sum _{i=1}^{p}x_{ti})+\sum _{j=1 }^{q}c_{j}(\sum _{i=1}^{p}x_{ti}i^{j})+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}z_ {0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}z_{j}+\varepsilon _{t}$

Al imponer varias restricciones (grado máximo, condiciones iniciales y finales) a los polinomios, se puede construir el modelo más satisfactorio. Sin embargo, este enfoque deja espacio para errores de especificación y ajuste subjetivo del modelo, ya que no existe una forma estadística de determinar la forma polinomial requerida.