Rostock (matemáticas)

El germen de un objeto en un espacio topológico expresa las propiedades locales del objeto. En cierto sentido, podemos decir que se trata de un nuevo objeto que asume solo las propiedades locales del objeto que lo generó (la mayoría de las veces, las asignaciones actúan como tales objetos ). Obviamente, diferentes funciones pueden definir un mismo germen. En este caso, todas las propiedades locales (continuidad, suavidad, etc.) de tales funciones coinciden, y es suficiente considerar las propiedades no de las funciones mismas, sino solo de sus gérmenes. El punto importante es introducir el concepto de localidad, por lo que se consideran gérmenes para objetos en un espacio topológico.

Formal definición

Sean dados un punto de un espacio topológico y dos aplicaciones a cualquier conjunto . Entonces decimos eso y definimos el mismo germen en si hay una vecindad del punto tal que las restricciones sobre y sobre coinciden. Eso es, $X$ $X$ ${\ estilo de visualización f, \; g: X \ a Y}$ $Y$ $F$ $gramo$ $X$ $tu$ $X$ $F$ $gramo$ $tu$

{\ estilo de visualización f|_{U}=g|_{U}}

(que significa ). $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$

De manera similar se habla de dos subconjuntos : definen el mismo germen en caso de que exista una vecindad tal que: ${\ estilo de visualización S, \; T \ subconjunto X}$ $X$ $tu$

S\cap U=T\cap U.

Obviamente, la asignación de gérmenes idénticos en un punto es una relación de equivalencia (sobre aplicaciones o conjuntos, respectivamente), y estas clases de equivalencia se denominan gérmenes (gérmenes de mapas o gérmenes de conjuntos). La relación de equivalencia generalmente se denota por o . $X$ ${\ estilo de visualización f \ sim _ {x} g}$ ${\ estilo de visualización S \ sim _ {x} T}$

El germen de un mapa dado en un punto generalmente se denota por . De manera similar, el germen definido por el conjunto se denota por . $F$ $X$ ${\ estilo de visualización [f] _ {x}}$ $S$ ${\ estilo de visualización [S] _ {x}}$

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

Un mapeo germinal punto a punto se escribe , por lo tanto, es toda una clase de equivalencia de mapeos, y se acostumbra entender cualquier mapeo representativo por. También se puede notar que dos conjuntos son equivalentes (definen el mismo conjunto germen) si sus funciones características son equivalentes (con respecto al mapeo de gérmenes): $x\en X$ $y\en y$ ${\ estilo de visualización (X, \; x) \ a (Y, \; y)}$ $F$ $F$

S\sim_{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1}_{S}\sim_{x}\mathbf {1}_{T}.

Literatura

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introducción al principio h . - M .: Centro de Moscú para la Educación Matemática Continua, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .