Fila peano

La serie de Peano es una suma infinita en la que los términos se obtienen por aplicación sucesiva de los operadores de integración y multiplicación de matrices.

La serie de Peano fue propuesta en 1888 por Giuseppe Peano [1] para determinar la matriz de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de forma normal [2] . La teoría general y las propiedades de los matrixantes para el sistema de ecuaciones de forma normal (SNV) fueron desarrolladas por F. R. Gantmakher [3] .

En los últimos años, los algoritmos basados en la aplicación de la serie de Peano han sido ampliamente utilizados para resolver problemas aplicados [4] . En relación con el desarrollo de la tecnología informática, se hizo posible implementar dichos algoritmos no solo en forma analítica, sino también numérica y numérico-analítica.

Definición

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables de forma normal (SNV):

$\int Y'dx=AY+F$ ,

donde es el vector de funciones desconocidas, es la matriz de coeficientes es el vector de funciones dadas (vector de “cargas”). $Y$ $A$ $F$

$Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left( t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots , norte$ .

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales de forma normal se expresa en términos de una matriz de soluciones fundamentales (matrizante):

$\Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]$ .

$Y=\Omega C+{Y_{F}}$ , ${Y_{F}}=\Omega\int {{\Omega^{-1}}F}$

J. Peano mostró que la matriz matriz se puede representar como una serie de operadores: $A$

$\Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A \,+\ldots$ ,

donde es la matriz identidad. En este caso, la matriz debe ser una función matricial acotada e integrable en el intervalo de cambio del argumento en consideración. La serie converge absoluta y uniformemente en cualquier intervalo cerrado en el que la matriz A es continua. $mi$ $A$

El operador de integración es una integral con un límite superior variable:

$\int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots }\right)}\,dt\,;{ \begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots }\right)=\,\int {\int {\ izquierda({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi } }{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{matriz}}\,dt$ .

De estas expresiones se sigue que

$\Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E$ .

${\omega_{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega_{ij}}\left({t_{0}}\ derecha)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\left\{{y_{0,i}}\right\}^{T));\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\izquierda({t_{0}}\derecha)$ .

También es posible otra forma de representación de la solución general, físicamente más conveniente:

$Y=\Omega \cdot ({Y_{0))+{U_{P)))\,;\quad {U_{P))=\int ({\Omega ^{-1))F\ ,.}$ .

Aquí , es el vector de valores iniciales que se dan en . es el vector de influencias externas que actúan en . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que . $Y_{0}$ $t=t_{0}$ ${\ Displaystyle U_ {P}}$ ${\displaystyle t\geq t_{0))$ ${\ estilo de visualización t_ {0} = 0}$

Así, si la variable representa físicamente el tiempo, entonces la solución general es una solución al problema de Cauchy, y si la variable representa físicamente la distancia, entonces la solución general es una solución al problema de valores en la frontera en la forma del método de los parámetros iniciales. [1].

Dominio de convergencia de la serie de Peano

La serie de Peano converge absoluta y uniformemente en un intervalo dado de cambio si la serie mayorante converge $t$

$M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu ({\left(t\right)}^{2))}{2!))+{\frac { {n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu { {\izquierda(t\derecha)}^{k}}}{k!}}+\ldots$ ,

$\mu \left(t\right)=\mahop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij)) \izquierda(t\derecha)}\derecha|dt}$ .

Por lo tanto, la convergencia de la serie está determinada por el valor del mayor valor de la integral del valor absoluto de las funciones en un intervalo de cambio dado . $a_{{ij}}$ $t$

Aplicación de la serie de Peano a la solución de ecuaciones diferenciales lineales

Ecuación diferencial lineal con coeficientes variables

${y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2) }}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)$

puede reducirse a un sistema equivalente de ecuaciones de forma normal introduciendo la notación

${y_{i}}={y^{(i-1)}});{\begin{matriz}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots , n}\\\end{matriz}}$ .

Derivando esta igualdad, obtenemos: ${y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}$

Estas igualdades se pueden considerar como las ecuaciones STRN para . La última ecuación se puede obtener a partir de la ecuación original moviendo todos los términos, excepto , hacia el lado derecho, escribiéndolos en orden inverso y expresando las derivadas en términos de variables con el número correspondiente: ${\ estilo de visualización i-1,2, \ puntos, n-1}$ $y^{{(n)}}$

${\begin{matriz}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2} {y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}} =-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots-{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_ {n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{matriz}}$

Entonces obtenemos un sistema equivalente de forma normal:

$Y'=AY+F$ .

La matriz y el vector de este sistema tienen la forma: $A$ $F$

$A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&. &.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{ a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{matriz} }\Correcto]$ ; . $F={\left\{{0,\ldots,0,f(x)}\right\}^{T))$

En un vector , cada elemento subsiguiente es una derivada del anterior. Por tanto, cada línea subsiguiente en , a partir de la segunda, es una derivada de la anterior: $Y$ $\Omega$

${\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}$

Si denotamos , entonces la matriz se puede representar como: ${\ Displaystyle {\ omega _ {1j}} = {\ psi _ {j}}}$

$\Omega =W=\left[{\begin{array}{*{20}{c))({\psi _{1}),{\psi _{2}),\ldots,{\ psi _{n))}\\{{{\psi '}_{1)),({\psi '}_{2)),\ldots,({\psi '}_{n))}\ \\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots,\psi _{n}^{(n- 1)}}\\\end{array}}\right]$

Así, la matriz de un sistema equivalente de forma normal es una matriz de Wronsky[1], y el sistema de soluciones fundamentales está normalizado en cero.

La serie de Peano en la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Considere una ecuación con coeficientes de variables arbitrarias:

$y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)$ .

Esta ecuación se reduce a un sistema de forma normal:

$Y={\left\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T))$ ; ; . $A=\left[{\begin{matriz}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_ {1}}}\\\end{matriz}}\right]$ $F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T))$

Si , entonces los elementos de la matriz se pueden representar como: $a_{1}=0$

$\left\{{\begin{matriz}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0} }+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_ {0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _ {12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _ {}^{2}{{a_{0}}x}-\int \límites _{}^{2}{a_{0}}\int \límites _{}^{2}{a_{0}} \int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0} }+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0 }}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{ 0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{ a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _ {}^{}{a_{0}}\int \límites _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \límites _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{matriz}}\right .$

Si se toman las integrales, entonces la solución se puede representar en forma de serie con respecto a algunas funciones. Como ejemplo de la aplicación de estas fórmulas, considere la ecuación de oscilación

$y''+{\omega^{2}}\,y=0$ , . ${a_{0}}=-{\omega ^{2));\quad {a_{1}}=0$

Los elementos del matrixante se obtienen en forma de las siguientes filas:

${\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{ 4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,$ ;

${\omega _{12}}=t\;.-{\frac ({\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^ {4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t$ .

Los elementos de la segunda fila en la matriz se obtienen diferenciando la primera fila:

$\Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \, \omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{matriz}}\right]\,$ .

De gran interés práctico es la solución del problema de Sturm-Liouville [1] para ecuaciones de la forma:

$y''+\,\lambda \,({\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a }}_{0}}$ .

En este caso, los elementos de la serie se multiplicarán por la potencia correspondiente del número . Por ejemplo: $\lambda$

${\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _ {}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{ 2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }$

${\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{} {a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^ {}{a_{0}}\int \límites _{}^{2}{a_{0}}\int \límites _{}^{2}{{a_{0}}\int \límites _{} ^{2}{a_{0}}-\ldots}\ldots}$

Cuando las condiciones de contorno se cumplen en los bordes del intervalo de cambio del argumento, estas fórmulas permiten componer un polinomio cuyas raíces dan todo el espectro de valores propios [4].

Implementación del algoritmo en forma numérica

En los casos en que no se toman integrales o se obtienen expresiones demasiado complejas y engorrosas, es posible un algoritmo numérico para resolver el problema. El intervalo de cambio del argumento se divide por un conjunto de nodos en intervalos iguales suficientemente pequeños. Todas las funciones involucradas en la resolución del problema se especifican mediante un conjunto de valores en los nodos de la cuadrícula. Cada función tiene su propio vector de valores en los nodos de la cuadrícula. Todas las integrales se calculan numéricamente, por ejemplo, utilizando el método trapezoidal.

Solución de problemas aplicados

Los algoritmos basados en la aplicación de la serie de Peano se utilizan en la resolución de problemas de estática, dinámica y estabilidad para varillas, placas y cascarones con parámetros variables. Al calcular sistemas bidimensionales, se utilizan métodos de reducción de dimensionalidad. Cuando se calculan capas de revolución, los parámetros de la capa y la carga en la dirección circunferencial se describen mediante series trigonométricas. El sistema de ecuaciones de la forma normal se compila para cada armónico que describe el cambio en las propiedades de la cáscara, las fuerzas y las deformaciones en la dirección longitudinal, y se obtiene una solución general del problema del valor límite. Esta parte del problema generalmente se resuelve numéricamente. Luego, usando las condiciones de compatibilidad, estos armónicos se combinan y se obtiene el estado de tensión-deformación de la coraza, cambiando en las direcciones longitudinal y circunferencial.

Notas

↑ Peano G. Integración por series de ecuaciones diferenciales lineales, Matemáticas. Ana. 32 (1888), 450-456.
↑ Enciclopedia matemática. Volumen 3 y 4. Cap. editor I. M. Vinogradov. - M .: Editorial de la Enciclopedia Soviética. mil novecientos ochenta y dos.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M.: Nauka, 1967. — 575 p.
↑ Ulitin V.V. Peano series y matrixants en la resolución de problemas aplicados: monografía. - San Petersburgo: Editorial "Park Com", 2012. -164 p.