Convolución Seccional

La convolución seccional (particionada) es un método para calcular la convolución que se utiliza cuando el número de elementos de una de las secuencias de entrada es muchas veces mayor que el número de elementos de la otra [1] . Métodos básicos para calcular la convolución seccional: superposición con sumay método de superposición apilada.

Cálculo

Sea una sucesión ilimitada, sea una sucesión de longitud y sea un número natural . $x=\{x(1),x(2),\ldots \}$ ${\displaystyle h=\{h(1),\ldots,h(N)\))$ $norte$ $L$

Método de superposición con sumatoria

Para calcular una convolución lineal por el método de suma superpuesta, es necesario dividir la secuencia en secciones adyacentes de longitud : ${\ estilo de visualización y = x * h}$ $X$ $L$

x(n)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty}x_{k}(n),

dónde

x_{k}(n)=\left\{{\begin{matriz}{rl}x(n),&n\en [kL,\,(k+1)L-1],\\0 ,&n\no en [kL,\,(k+1)L-1].\end{matriz}}\right.

Después

y(n)=\sum \limits _{m=0}^{N-1}h(m)\sum \limits _{k=0}^{+\infty}x_{k}(nm )=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }h(n)*x_{k}(n)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }y_{k }(norte).

La longitud de cada una de las circunvoluciones parciales en esta suma es igual a , es decir, hay una sección de longitud en la que se superponen las circunvoluciones parciales -ésima y -ésima, por lo que se deben sumar sus lecturas en el área de superposición. De ahí el nombre de este método [2] . ${\ estilo de visualización L+N-1}$ $N-1$ $k$ $(k+1)$

Método de superposición apilada

Ahora permita que la longitud de las secciones de la secuencia sea igual y que estas secciones tengan secciones superpuestas de longitud . Para cada sección, se calcula una convolución cíclica y , que contiene un recuento y se denota por . Es necesario descartar las últimas muestras de esta secuencia y adjuntar el resto a la secuencia . Luego de ejecutar este procedimiento, se obtendrá la secuencia requerida para cada [3] . $x_k$ $X$ ${\ estilo de visualización L+N-1}$ $N-1$ $h$ $x_k$ ${\ estilo de visualización L+N-1}$ $y_{k}$ $N-1$ $y_{k-1}$ $k$ ${\ estilo de visualización y = x * h}$

Nota

Es conveniente elegir un número de modo que el número sea una potencia de dos. Luego, cada una de las circunvoluciones parciales se puede realizar de manera eficiente utilizando algoritmos rápidos , lo que reduce en gran medida la complejidad computacional . $L$ ${\ estilo de visualización L+N-1}$

Notas

↑ Rabiner, Gould 1978 , pág. 76.
↑ Rabiner, Gould 1978 , pág. 76-78.
↑ Rabiner, Gould 1978 , pág. 78-81.

Literatura

Rabiner, L. , Gould, B. Teoría y aplicación del procesamiento digital de señales. —M.:Mir, 1978.