Firma (álgebra lineal)

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En álgebra lineal, una firma es una característica numérica de una forma cuadrática o espacio pseudo-euclidiano en el que el producto escalar viene dado por la forma cuadrática correspondiente.

Definición

Cada forma cuadrática con coeficientes reales se puede reducir mediante un cambio lineal no degenerado de variables a la forma canónica

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2} }^{2}-\cdots-x_{{p+q}}^{2}.

La diferencia entre el número de términos positivos y negativos en esta notación se llama firma de la forma cuadrática. Los números p y q de la firma no dependen de las formas de llevar la forma a la forma canónica ( ley de inercia de Sylvester ). $pq$

La firma de una forma cuadrática también se escribe como un par de números o como un número apropiado de más y menos. $(p, q)$ $(+\cdots+-\cdots-)$

Ejemplo

Una forma cuadrática en dos variables se puede reducir a una forma canónica , por ejemplo, usando un cambio lineal de variables: $x_{1}x_{2}$ ${\tilde x}_{1}^{2}-{\tilde x}_{2}^{2},$

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

La firma de esta forma cuadrática es cero, o se puede escribir como o como $(1.1)$ $(+-).$

Véase también

Literatura

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. — M.: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. — M.: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra. — M.: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Álgebra lineal, M.: M.: Nauka, Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. — M.: Fizmatlit, 2009.