Dinámica simbólica

Dinámica simbólica es un nombre unificador para una clase de sistemas dinámicos , para los cuales los puntos del espacio de fase son secuencias en algún alfabeto finito de "símbolos", y el mapeo consiste en desplazar la secuencia un símbolo a la izquierda.

Los ejemplos más simples son el cambio de Bernoulli y el cambio de Markov . Las dinámicas simbólicas también surgen cuando se considera el despliegue del destino .

Ejemplos básicos

Cambio de Bernoulli

Sea el espacio de las sucesiones en el alfabeto , es decir, $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\puntos,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty}}\mid \forall j\quad w_{j}\ en \{1,\puntos,s\}\}.

Un cambio de Bernoulli es un sistema dinámico , donde está el mapeo del cambio a la izquierda, $(\Sigma_{s}^{{+}},\sigma)$ $\sigma$

(\sigma (\omega))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

También consideramos el mapeo del desplazamiento a la izquierda en el espacio de secuencias infinitas de dos lados

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty}}^{{\infty}}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\puntos,s\}\};

el sistema dinámico resultante también se denomina cambio de Bernoulli. Si es necesario, para aclarar a cuál de los sistemas se refiere, el primer sistema se denomina desplazamiento de Bernoulli de un lado y el segundo de dos lados . $(\Sigma_{s},\sigma)$

Desplazamiento de Markov

Mapeo de destino

Si el espacio de fase de un sistema dinámico se divide en una unión de conjuntos disjuntos,

X=\bigsqcup_{{i=1}}^{N}B_{i},

cualquier punto puede asociarse con su destino : la secuencia de números de conjuntos que visita su órbita: $x\en X$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Además, para los sistemas dinámicos irreversibles, la secuencia es unilateral, es decir, , y para los sistemas reversibles se suelen considerar secuencias infinitas de dos lados, . $(i_{k})$ $k=0,1,2,\puntos$ $k\en \mathbb{Z}$

El mapeo o , dado por la fórmula (*), se llama mapeo del destino (correspondiente a la división dada del espacio de fase). Tal mapeo satisface automáticamente la relación $h:X\to\Sigma _{N}$ $h:X\a\Sigma _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Aunque el mapa del destino no es a priori ni sobreyectivo, ni inyectivo, ni continuo, a menudo se usa en la construcción de conjugaciones o semiconjugaciones de varios mapeos. En el caso de que el mapeo del destino sea inyectivo, se habla de una codificación simbólica de la dinámica, ya que la aplicación del mapeo tal “reemplazo de coordenadas” se convierte en dinámica en el espacio simbólico o en su parte. $\Sigma _{N}$

Propiedades

Ejemplos

Medidas invariantes

Literatura

P. Billingsley, Teoría e información ergódica.
V. I. Arnold, D. V. Anosov, Yu. S. Ilyashenko, et al., Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .