Solenoide Smale-Williams
El solenoide de Smale-Williams es un ejemplo de un sistema dinámico reversible , similar en el comportamiento de las trayectorias al mapeo de duplicación en un círculo. Más precisamente, este sistema dinámico se define en el toro sólido , y para una iteración del mismo, la coordenada angular se duplica; de donde surgen automáticamente la divergencia exponencial de las trayectorias y la dinámica caótica. El atractor máximo de este sistema también se llama solenoide (de donde, de hecho, proviene el nombre): está dispuesto como una unión (incontable) de "hilos" enrollados a lo largo de un toro sólido.
Definición
El mapeo de solenoide se llama mapeo
toro sólido en sí mismo, dado como
Aquí, por conveniencia, el disco se considera como un solo disco en el plano complejo: .
El atractor máximo de este mapeo (así como todo el sistema dinámico correspondiente) se denomina solenoide de Smale-Williams .
Propiedades
- El mapeo del solenoide es hiperbólico .
- El solenoide en sí resulta ser homeomorfo al conjunto obtenido al implementar el procedimiento de superestructura sobre el odómetro : el mapeo de la suma de uno en 2 enteros ádicos .
- La dinámica en un solenoide permite la codificación simbólica : un punto de solenoide puede asociarse (casi uno a uno) con secuencias infinitas de dos lados de ceros y unos, y la aplicación del mapeo corresponderá a un desplazamiento a la izquierda en el espacio de secuencias . , y una parte de la secuencia con índices positivos será una representación binaria de la coordenada angular.
Enlaces
- El atractor de Smale-Williams en el sitio web del Saratov Group of Nonlinear Dynamics.
Literatura
- Sinai Ya. G., Vershik A. M., Dobrushin R. L., Dynamic Systems-2, VINITI.
- Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .