Estado de fock

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Un estado de Fock es un estado mecánico cuántico con un número de partículas definido con precisión . Nombrado en honor al físico soviético V. A. Fok .

Propiedades de los estados de Fock

Hay n partículas en el estado de Fock , donde n es un número entero. ${\ estilo de visualización | n \ ángulo}$

No hay un solo cuanto en el estado fundamental . A menudo también se denomina estado de vacío. $|0\rango$ $|0\rango$

Al considerar la segunda cuantización , los estados de Fock forman la base más conveniente del espacio de Fock .

La acción de los operadores de creación y destrucción sobre ellos es bastante sencilla. Obedecen a las siguientes estadísticas de Bose-Einstein (el caso de partículas con espín entero ):

a^{\daga}|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle

a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle

|n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!)}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle

donde y son los operadores de aniquilación y creación, respectivamente. Se mantienen relaciones similares para las estadísticas de Fermi-Dirac (para partículas con espín medio entero ). $a$ ${\displaystyle a^{\daga))$

De estas relaciones se sigue que

<a^{\daga}a>=n

Var(a^{\daga }a)=0,

así, la medida del número de partículas en el estado de Fock siempre da un valor cierto sin fluctuaciones. $a^{\daga}a$

Los estados de Fock no son funciones propias del hamiltoniano en general

En el segundo formalismo de cuantización , la densidad del hamiltoniano viene dada por

{\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla_{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla_{i}\psi(x)

[1] ,

y el hamiltoniano general se escribe como:

{\begin{alineado}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*} (x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\por lo tanto {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{alineado}}

En la teoría libre de Schrödinger (es decir, para partículas que no interactúan en la aproximación no relativista) [1]

{\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{ (+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)

\int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x) =\delta _{nn'}

\psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

donde está el operador de aniquilación. $un$

\por lo tanto {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\daga}\psi _{n'}^ {(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

Solo para partículas que no interactúan y conmutan; en general no viajan. Para partículas que no interactúan ${\mathfrak{H}}$ $un$

{\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\daga}\psi _{n'}^{( +)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum_{n,n'}E_ {n}^{0}a_{n'}^{\daga }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\ daga }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}

Si no conmutan, el hamiltoniano no tendrá la expresión anterior. Por tanto, en el caso general, los estados de Fock no son estados de un sistema con un determinado valor de energía.

Estados de energía

Los estados de Fock son funciones propias del hamiltoniano del campo : $H=\hbar \omega (a^{\daga}a+1/2)$

H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,

donde es la energía del estado correspondiente . $E_{n}$ ${\ estilo de visualización | n \ ángulo}$

Sustituyendo el hamiltoniano en la expresión anterior, obtenemos:

\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{ 2}}\derecha)|n\rango

En consecuencia, la energía de estado es , donde es la frecuencia de campo. ${\ estilo de visualización | n \ ángulo}$ $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2))\right)$ $\omega$

Una vez más, notamos que la energía del estado cero (base) c es diferente de cero, y se llama energía cero. $n=0$

Fluctuaciones de vacío

Véase también frecuencia Rabi

El estado de vacío, o , es el estado con la energía más baja. Para él $|0\rango$

a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\daga}.

Los campos eléctrico y magnético y el potencial vectorial tienen la misma forma:

F({\vec {r)),t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k))\cdot {\vec {r)))-\omega t)}+

hc

Es fácil ver que el valor del operador de campo de este estado se desvanece en el estado de vacío:

{\ estilo de visualización \ ángulo 0 | F | 0 \ ángulo = 0.}

Sin embargo, se puede demostrar que el cuadrado del operador de campo no es igual a cero.

Las fluctuaciones del vacío son responsables de muchos fenómenos interesantes en la óptica cuántica, como el cambio de Lamb y la fuerza de Casimir .

Notas

↑ 1 2 Gross, 1999 , p. 189.

Véase también

Oscilador armónico cuántico

Enlaces

Landau LD, Lifshits EM Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 6ª edición, revisada. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 p. - ("Física Teórica", Tomo III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Schweber S., Introducción a la teoría relativista del campo cuántico, [trad. De inglés. ], M., 1963.
Khoruzhy S. S., Introducción a la teoría algebraica de campos cuánticos, Moscú, 1986.
Franz Gross. Mecánica Cuántica Relativista y Teoría de Campos. - Wiley-VCH, 1999. - ISBN 0471353868 .