Onda estacionaria

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Una onda estacionaria es un fenómeno de interferencia de ondas que se propagan en direcciones opuestas, en el que la transferencia de energía se debilita o está ausente [1] .

Onda estacionaria (electromagnética) - un cambio periódico en la amplitud de los campos eléctricos y magnéticos a lo largo de la dirección de propagación, causado por la interferencia de las ondas incidente y reflejada [2] .

Una onda estacionaria es un proceso oscilatorio (onda) en sistemas oscilatorios distribuidos con una disposición característica espacialmente estable de máximos ( antinodos ) y mínimos (nodos) de amplitud alternos . Tal proceso oscilatorio ocurre cuando interfieren varias ondas coherentes .

Por ejemplo, una onda estacionaria ocurre cuando una onda es reflejada por obstáculos e inhomogeneidades como resultado de la interacción (interferencia) de las ondas incidente y reflejada. El resultado de la interferencia se ve afectado por la frecuencia de las oscilaciones, el módulo y la fase del coeficiente de reflexión, las direcciones de propagación de las ondas incidente y reflejada entre sí, el cambio o conservación de la polarización de las ondas durante la reflexión, la coeficiente de atenuación de las ondas en el medio de propagación. Estrictamente hablando, una onda estacionaria solo puede existir si no hay pérdidas en el medio de propagación (o en el medio activo) y la onda incidente se refleja completamente. En un medio real, sin embargo, se observa el modo de ondas mixtas, ya que siempre hay una transferencia de energía a los lugares de absorción y emisión. Si, cuando cae una onda, se absorbe por completo , entonces la onda reflejada está ausente, no hay interferencia de onda, la amplitud del proceso de onda en el espacio es constante. Tal proceso ondulatorio se llama onda viajera .

Ejemplos de una onda estacionaria son las vibraciones de las cuerdas , las vibraciones del aire en un tubo de órgano [3] ; en la naturaleza - Ondas de Schumann . Se utiliza un tubo de Rubens para demostrar las ondas estacionarias en un gas .

Onda estacionaria bidimensional en un disco elástico. Moda básica
Modo de onda estacionaria superior en un disco elástico

En el caso de oscilaciones armónicas en un medio unidimensional, una onda estacionaria se describe mediante la fórmula:

u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi )

donde u son perturbaciones en el punto x en el tiempo t , es la amplitud de la onda estacionaria, es la frecuencia, k es el vector de onda y es la fase . $tu_{0}$ $\omega$ $\varphi$

Las ondas estacionarias son soluciones a las ecuaciones de ondas . Se pueden considerar como una superposición de ondas que se propagan en direcciones opuestas.

Cuando hay una onda estacionaria en el medio, hay puntos donde la amplitud de oscilación es igual a cero. Estos puntos se denominan nodos de la onda estacionaria. Los puntos en los que las oscilaciones tienen la máxima amplitud se denominan antinodos .

Mods

Las ondas estacionarias se originan en resonadores . Las dimensiones finitas del resonador imponen condiciones adicionales a la existencia de tales ondas. En particular, para sistemas de dimensiones finitas, el vector de onda (y, en consecuencia, la longitud de onda ) solo puede tomar ciertos valores discretos . Las oscilaciones con ciertos valores del vector de onda se denominan modos .

Por ejemplo, los diferentes modos de vibración de una cuerda sujetada en los extremos determinan su tono fundamental y armónicos .

Descripción matemática de las ondas estacionarias

En el caso unidimensional, dos ondas de la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud que se propagan en direcciones opuestas (por ejemplo, una hacia la otra) interactuarán, dando como resultado una onda estacionaria. Por ejemplo, una onda armónica que se propaga hacia la derecha y llega al final de una cuerda produce una onda estacionaria. La onda que se refleja desde el extremo debe tener la misma amplitud y frecuencia que la onda incidente.

Considere las ondas incidente y reflejada en la forma:

y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)

y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)

dónde:

y 0 es la amplitud de la onda,
$\omega$ - frecuencia cíclica (angular), medida en radianes por segundo,
k es el vector de onda, medido en radianes por metro, y se calcula dividido por la longitud de onda , $2\pi$ $\lambda$
x y t son variables de longitud y tiempo.

Por lo tanto, la ecuación resultante para una onda estacionaria y será la suma de y 1 e y 2 :

y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).

Usando relaciones trigonométricas, esta ecuación se puede reescribir como:

y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).

Si consideramos modos y antimodos , entonces la distancia entre modos/antimodos adyacentes será igual a la mitad de la longitud de onda . $x=0,\lambda/2,3\lambda/2,...$ $x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...$ $\lambda /2$

Ecuación de onda

Obtener ondas estacionarias como resultado de resolver la ecuación de onda diferencial homogénea (d'Alembert)

( ∇ 2 − una v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) tu = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\right )u=0}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\right )u=0

sus condiciones de contorno deben establecerse adecuadamente (por ejemplo, para fijar los extremos de la cadena).

En el caso general de una ecuación diferencial no homogénea

( ∇ 2 − una v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) tu = F 0 tu , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,

donde - juega el papel de una "fuerza", con la ayuda de la cual se lleva a cabo un desplazamiento en un cierto punto de la cuerda, surge automáticamente una onda estacionaria. $f_0$

Véase también

Notas

↑ Diccionario de ingeniería eléctrica IEEE/PALaplante, ed. CRC Press LLC, 2000.
↑ GOST 18238-72. Líneas de transmisión de microondas. Términos y definiciones.
↑ Joe Wolfie "Cuerdas, ondas estacionarias y armónicos" . Consultado el 12 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 10 de febrero de 2009. (indefinido)

Enlaces

Joe Wolfie "Cuerdas, ondas estacionarias y armónicos"